Задачи и упражнения по теории вероятностей

(Контрольная работа № 7 «Вероятность и законы распределения»)

 

681. Автоматическая пожарная сигнализация установлена в помещениях. Вероятность возникновения пожара в каждом из помещений в течение года равна Р_П=0,05. Сигнализация обнаруживает загорание с вероятностью Р_С=0,85. Вероятность срабатывания без пожара равна Р_ОШ=0,012. Найти вероятность наличия загорания при условии, что сигнализация сработала.

682. Независимо друг от друга работает несколько топливных насосов. Расчетная вероятность прорыва горючего из трубопровода за время работы насоса составляет Р_ГОР=0,01, вероятность образования окислительной атмосферы Р_ОК=0,055, вероятность возникновения искры Р_И=0,008. Сколько насосов могут работать одновременно, чтобы вероятность возникновения пожара не превысила 0,125?

683. На объекте используются огнетушители трех заводов-производителей по 15; 10 и 30 штук от каждого. Вероятность брака для каждого из заводов составляет 0,04; 0,025 и 0,02 соответственно. Взятый наугад огнетушитель не сработал. Найти вероятность того, что он изготовлен третьим заводом.

684. На территории региона работают 5 атомных станций. Расчетная вероятность возникновения в течение года инцидентов, связанных с пожарами, составляет 0,003; с выходом из строя электрооборудования – 0,004; прорывом трубопроводов – 0,005. Найти вероятность того, что в течение года не будет инцидентов по этим причинам.

685. Об объекте известно: вероятность срабатывания системы пожарной защиты (ПЗ) равна Р_ПЗ=0,8; вероятность эвакуации персонала до начала воздействия ОФП равна Р_Э=0,9. Вероятность воздействия ОФП при отказе системы ПЗ равна 0,6; вероятность воздействия ОФП на неэвакуированный персонал – 0,9. Найти вероятность того, что причиной имевшего место действия ОФП на персонал стала ненадежность ПЗ.

686. В цехе предполагается разместить несколько технологических установок. Расчетная вероятность пожара на каждой из них в течение года равна Р_УСТ=0,015. Вероятность пожара в объеме помещения цеха равна Р_ОБ=0,035. Сколько установок можно разместить в помещении цеха, если необходимо, чтобы вероятность пожара в течение года не превысила Р=0,02?

687. Автоматическая пожарная сигнализация установлена в помещениях. Вероятность возникновения пожара в каждом из помещений в течение года равна Р_П=0,04. При наличии загорания сигнализация срабатывает с вероятностью Р_С=0,8. Вероятность ложного срабатывания равна Р_ОШ=0,015. Найти вероятность того, что очаг пожара окажется незамеченным.

688. В цеху работают две технологических установки. Причиной аварии может быть пожар в объеме помещения цеха или загорание установки. Расчетная вероятность возникновения пожара в течение года равна: в помещении цеха – 0,03; на установке – 0,05. Найти вероятность пожара в цехе в течение года.

689. На объекте используются огнетушители трех заводов-производителей по 10; 20 и 25 штук от каждого. Вероятность брака для каждого из заводов составляет 0,025; 0,02 и 0,04 соответственно. Взятый наугад огнетушитель не сработал. Найти вероятность того, что он изготовлен первым заводом.

690. На территории региона 6 лесных хозяйств. Вероятность возникновения пожара в каждом из них в течение года равна 0,09. Построить график функции распределения для числа хозяйств, в которых ежегодно бывают пожары.

691. На химзаводе расположены 5 складов с продукцией. Вероятность возникновения пожара в каждом из них в течение года равна 0,03. Построить график функции распределения для складов, на которых ежегодно бывают пожары.

692. Автоматическая пожарная сигнализация установлена в помещениях. Вероятность возникновения пожара в каждом из помещений в течение года равна Р_П=0,5. Сигнализация обнаруживает загорание с вероятностью Р_С=0,06. Вероятность срабатывания без пожара равна Р_ОШ=0,07. Найти вероятность наличия загорания при условии, что сигнализация сработала.

693. Независимо друг от друга работает несколько топливных насосов. Расчетная вероятность прорыва горючего из трубопровода за время работы насоса составляет Р_ГОР=0,07, вероятность образования окислительной атмосферы Р_ОК=0,05, вероятность возникновения искры Р_И=0,08. Сколько насосов могут работать одновременно, чтобы вероятность возникновения пожара не превысила 0,15?

694. На объекте используются огнетушители трех заводов-производителей по 5; 15 и 25 штук от каждого. Вероятность брака для каждого из заводов составляет 0,08; 0,09 и 0,01 соответственно. Взятый наугад огнетушитель не сработал. Найти вероятность того, что он изготовлен вторым заводом.

695. На территории региона работают 4 атомных станции. Расчетная вероятность возникновения в течение года инцидентов, связанных с пожарами, составляет 0,03; с выходом из строя электрооборудования – 0,05; прорывом трубопроводов – 0,08. Найти вероятность того, что в течение года не будет инцидентов по этим причинам.

696. Об объекте известно: вероятность срабатывания системы пожарной защиты (ПЗ) равна Р_ПЗ=0,7; вероятность эвакуации персонала до начала воздействия ОФП равна Р_Э=0,3. Вероятность воздействия ОФП при отказе системы ПЗ равна 0,7; вероятность воздействия ОФП на неэвакуированный персонал – 0,4. Найти вероятность того, что причиной имевшего место действия ОФП на персонал стала ненадежность ПЗ.

697. В цехе предполагается разместить несколько технологических установок. Расчетная вероятность пожара на каждой из них в течение года равна Р_УСТ=0,025. Вероятность пожара в объеме помещения цеха равна Р_ОБ=0,045. Сколько установок можно разместить в помещении цеха, если необходимо, чтобы вероятность пожара в течение года не превысила Р=0,03?

698. Автоматическая пожарная сигнализация установлена в помещениях. Вероятность возникновения пожара в каждом из помещений в течение года равна Р_П=0,06. При наличии загорания сигнализация срабатывает с вероятностью Р_С=0,4. Вероятность ложного срабатывания равна Р_ОШ=0,03. Найти вероятность того, что очаг пожара окажется незамеченным.

699. В цеху работают две технологических установки. Причиной аварии может быть пожар в объеме помещения цеха или загорание установки. Расчетная вероятность возникновения пожара в течение года равна: в помещении цеха – 0,06; на установке – 0,09. Найти вероятность пожара в цехе в течение года.

700. На объекте используются огнетушители трех заводов-производителей по 20; 25 и 35 штук от каждого. Вероятность брака для каждого из заводов составляет 0,02; 0,07 и 0,15 соответственно. Взятый наугад огнетушитель не сработал. Найти вероятность того, что он изготовлен первым заводом.

701. В диспетчерскую УГПС поступают вызовы с частотой 4 вызова за 15 минут. Найти вероятность того, что за 5 минут поступит не более одного вызова.

702. Известно, что в среднем один из каждых десяти огнетушителей неисправен. Ведется проверка партии огнетушителей до первого неисправного. Найти вероятность того, что будет проверено не более 3-х огнетушителей.

703. На территории региона 10 лесных хозяйств. Вероятность возникновения пожара в каждом из них в течение года равна 0,1. Найти вероятность того, что пожар в течение года будет иметь место в 5-ти лесных хозяйствах.

704. Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех.

705. Принимая вероятности рождения мальчика и девочки одинаковыми, найти вероятность того, что среди 6 новорожденных: а) 4 мальчика; б) не более двух девочек.

706. Прибор состоит из 4 узлов. Вероятность безотказной работы в течение смены для каждого узла равна 0,8. Узлы выходят из строя независимо один от другого. Найти вероятность того, что за смену откажут: а) два узла; б) не менее двух узлов.

707. Партия огнетушителей содержит 0,1% бракованных. Какова вероятность при случайном отборе 2000 огнетушителей обнаружить 5 бракованных?

708. Вероятность появления бракованного огнетушителя равна 0,008. Найти вероятность того, что из 500 случайно отобранных огнетушителей окажется 3 бракованных.

709. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение часа равна 0,002. Найти вероятность того, что за час откажут 4 элемента

710. Книга издана тиражом в 50000 экземпляров. Вероятность того, что в книге имеется дефект брошюровки равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит 5 неправильно сброшюрованных книг.

В задачах 711-720 дано, что на заводе рабочий за смену изготовляет n деталей. Вероятность того, что деталь окажется первого сорта равна р. Какова вероятность, что деталей первого сорта будет m штук.

 

711.

712.

713.

714.

715.

716.

717.

718.

719.

720.

В задачах 721-730 дана вероятность р появления события А в каждом из п независимых испытаний. Пользуясь интегральной теоремой Лапласа, найти вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится не менее m₁ раз и не более m₂ раза.

 

721.

722.

723.

724.

725.

726.

727.

728.

729.

730.

 

В задачах 731-740 дано, что детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределены по нормальному закону. Стандартная длина диаметра детали (математическое ожидание) равна а мм, среднее квадратическое отклонение - s мм. Найти: 1) вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет больше a мм и меньше b мм; 2) вероятность того, что диаметр детали отклонится от стандартной длины не более чем на d мм. Значения а, s, a, b, d даны.

 

731.	а =50,	s= 5,	a= 45,	b= 52,	d= 2.
732.	а =20,	s= 3,	a= 17,	b= 26,	d= 1,5.
733.	а =36,	s= 4,	a= 30,	b= 40,	d= 2.
734.	а =60,	s= 5,	a= 54,	b= 70,	d= 8.
735.	а =48,	s= 4,	a= 45,	b= 56,	d= 3.
736.	а =30,	s= 3,	a= 24,	b= 33,	d= 1,5.
737.	а =35,	s= 4,	a= 27,	b= 37,	d= 2.
738.	а =45,	s= 5,	a= 40,	b= 48,	d= 3.
739.	а =40,	s= 3,	a= 34,	b= 43,	d= 1,5.
740.	а =25,	s= 2,	a= 20,	b= 27,	d= 1.

 

В задачах 741-760 задан закон распределения случайной величины Х (в первой строке таблицы даны возможные значения величины Х, а во второй строке указаны вероятности р этих возможных значений).

Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение s.

 

741.	Х
	р	0,3	0,2	0,4	0,1
742.	Х
	р	0,2	0,4	0,3	0,1
743.	Х
	р	0,2	0,2	0,5	0,1
744.	Х
	р	0,1	0,5	0,3	0,1
745.	Х
	р	0,2	0,4	0,3	0,1
746.	Х
	р	0,1	0,5	0,2	0,2
747.	Х
	р	0,1	0,2	0,5	0,2
748.	Х
	р	0,1	0,4	0,2	0,3
749.	Х
	р	0,1	0,3	0,4	0,2
750.	Х
	р	0,2	0,4	0,3	0,1
751.	Х
	р	0,2	0,3	0,1	0,4
752.	Х
	р	0,2	0,3	0,4	0,1
753.	Х
	р	0,2	0,3	0,1	0,4
754.	Х
	р	0,2	0,1	0,5	0,2
755.	Х
	р	0,1	0,2	0,4	0,3
756.	Х
	р	0,2	0,3	0,4	0,1
757.	Х
	р	0,3	0,5	0,1	0,1
758.	Х
	р	0,1	0,4	0,3	0,2
759.	Х
	р	0,1	0,2	0,2	0,5
760.	Х
	р	0,1	0,3	0,2	0,4

 

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

(Контрольная работа № 8 «Математическая статистика»)

Задачи 761-765. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n, заданная вариантами х_i и соответствующими им частотами. Найти несмещенную оценку генеральной средней.

 

761.	варианта хi
частота ni
762.	варианта хi
частота ni
763.	варианта хi
частота ni
764.	варианта хi
частота ni
765.	варианта хi
частота ni

 

Задачи 766-770. По выборке объема n найдена смещенная оценка генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.

 

766.	n=36	=5
767.	n=50	=4
768.	n=25	=0,5
769.	n=75	=0,7
770.	n=30	=2,5

 

Задачи 771-775. В итоге измерения длины стержня одним прибором (без систематических ошибок) получены результаты в виде таблицы.

Найти: а) выборочную среднюю длину стержня; б) выборочную и направленную дисперсии ошибок прибора.

 

771.	х1	х2	х3	х4	х5
772.	х1	х2	х3	х4	х5
773.	х1	х2	х3	х4	х5
774.	х1	х2	х3	х4	х5
775.	х1	х2	х3	х4	х5

Задачи 776-780. Результаты измерения роста отобранных 100 человек приведены в таблицах. Принимая середины интервалов в качестве вариант, найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию роста обследованных.

 

776.

 

рост	154-158	158-162	162-166	166-170	170-174	174-178	178-182
число человек

 

777.

рост	150-154	154-158	158-162	162-166	166-170	170-174	174-178
число человек

 

778.

рост	152-156	156-160	160-164	164-168	168-172	172-176	176-180
число человек

 

779.

рост	156-160	160-164	164-168	168-172	172-176	176-180	180-184
число человек

780.

рост	158-162	162-166	166-170	170-174	174-178	178-182	182-186
число человек

 

Задачи 781-785. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью p неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если даны генеральное среднее квадратическое отклонение s, выборочная средняя , и объем выборки n.

 

781.	р =0,95	s =7	=13	n =27
782.	р =0,97	s=5	=14	n =30
783.	р =0,99	s =4	=10,5	n =20
784.	р =0,96	s =4	=16,8	n =25
785.	р =0,98	s=6	=30	n =30

 

Задачи 786-790. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n. Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание а нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.

 

786.	значение признака хi	-5	-1
частота ni
787.	значение признака хi	-4	-2
частота ni
788.	значение признака хi	-3	-1
частота ni
789.	значение признака хi	-5	-3
частота ni
790.	значение признака хi	-2	-1
частота ni

 

Задачи 791-795. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n. Оценить с надежностью g математическое ожидание а нормально распределенного признака генеральной совокупности при помощи доверительного интервала.

 

791.	значение признака хi	-0,6	-0,4	-0,2	0,0	0,2	0,4	0,9	1,0	1,2	1,6
частота ni
g =0,95
792.	значение признака хi	-0,3	-0,2	-0,1	0,0	0,2	0,4	0,6	0,9	1,1	1,5
частота ni
g=0,99
793.	значение признака хi	-0,7	-0,3	-0,2	0,0	0,1	0,3	0,5	0,6	0,9	1,2
частота ni
g =0,99
794.	значение признака хi	-1,0	-0,8	-0,7	-0,5	0,0	0,4	0,7	0,9	1,1	1,4
частота ni
g =0,95
795.	значение признака хi	-0,8	-0,7	-0,3	0,0	0,2	0,3	0,4	0,9	1,1	1.3
частота ni
g =0,99

 

Задачи 796-800. По данным n независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений и исправленное среднее квадратическое отклонение s. Оценить истинное значение измеряемой величины при помощи доверительного интервала с надежностью g.

 

796.	n =19	=33,1	s=7	g =0,999
797.	n =15	=15,6	s=3	g =0,95
798.	n =25	=23,2	s=4	g =0,99
799.	n =100	=12	s=5	g =0,95
800.	n =50	=15,6	s=4	g =0,99

 

 

Задачи 801-820. Построить полигон частот и эмпирическую функцию по заданному распределению выборки.

Найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию данного распределения выборки.

Вычислить ассиметрию и эксцесс заданного распределения. Для расчетов применить метод сумм.

 

801.	хi
ni
802.	хi
ni
803.	хi
ni
804.	хi
ni
805.	хi
ni
806.	хi
ni
807.	хi
ni
808.	хi
ni
809.	хi
ni
810.	хi
ni
811.	хi
ni
812.	хi
ni
813.	хi
ni
814.	хi
ni
815.	хi
ni
816.	хi
ni
817.	хi
ni
818.	хi
ni
819.	хi
ni
820.	хi
ni

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

 

Таблица 1

Значение функции

х
0,0	0,3989
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0	0,2420
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0	0,0540
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0	0,0044
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9

Таблица 2

Значение функции

х	Ф (х)	х	Ф (х)	х	Ф (х)	х	Ф (х)
0,00	0,0000	0,20	0,0793	0,40	0,1554	0,60	0,2257
0,01	0,0040	0,21	0,0832	0,41	0,1591	0,61	0,2291
0,02	0,0080	0,22	0,0871	0,42	0,1628	0,62	0,2324
0,03	0,0120	0,23	0,0910	0,43	0,1664	0,63	0,2357
0,04	0,0160	0,24	0,0948	0,44	0,1700	0,64	0,2389
0,05	0,0199	0,25	0,0987	0,45	0,1736	0,65	0,2422
0,06	0,0239	0,26	0,1026	0,46	0,1772	0,66	0,2454
0,07	0,0279	0,27	0,1064	0,47	0,1808	0,67	0,2486
0,08	0,0319	0,28	0,1103	0,48	0,1844	0,68	0,2517
0,09	0,0359	0,29	0,1141	0,49	0,1879	0,69	0,2549
0,10	0,0398	0,30	0,1179	0,50	0,1915	0,70	0,2580
0,11	0,0438	0,31	0,1217	0,51	0,1950	0,71	0,2611
0,12	0,0478	0,32	0,1255	0,52	0,1985	0,72	0,2642
0,13	0,0517	0,33	0,1293	0,53