Выборочное уравнение прямой линии регрессии по сгруппированным данным. Выборочный коэффициент корреляции

Для отыскания параметров прямой линии регрессии по несгруппированным данным по методу наименьших квадратов получена система:

(1)

где – коэффициент регрессии.

Пусть получено большое число данных (для удовлетворительной оценки искомых параметров количество наблюдений должно быть не менее 50). Среди них есть повторяющиеся, и они сгруппированы в виде корреляционной таблицы. Запишем соотношение (1) так, чтобы оно отражало данные корреляционной таблицы.

; ; ; ; ;

; .

Учтено, что пара чисел наблюдалась раз. Поставив все это в систему (1) будем иметь

(2)

Решив эту систему, найдем параметры и и тем самым найдем уравнение регрессии .

Однако целесообразно, введя новую величину – коэффициент корреляции, найти уравнение регрессии в ином виде.

Из 2-го уравнения системы выразим : . Подставив правую часть этого уравнения в уравнение получим

;

. (3)

Найдем из системы (2) коэффициент корреляции :

, (4)

где – среднее квадратическое отклонение СВ .

Умножая обе части равенства на дробь , получим выборочный коэффициент корреляции

(5)

Выборочный коэффициент корреляции служит для оценки тесноты линейной корреляционной зависимости.

Отсюда выборочное уравнение прямой линии регрессии на имеет вид

. (6)

Аналогично находят второе уравнение прямой линии регрессии

. (7)

Свойства выборочного коэффициента корреляции

1. Абсолютная величина выборочного коэффициента корреляции не превосходит 1 ().

2. Если выборочный коэффициент корреляции равен 0 и выборочные линии регрессии – прямые линии, то и не связаны линейной корреляционной зависимостью и , .

В этом случае прямые линии регрессии параллельны соответственно координатным осям.

Замечание. Если выборочный коэффициент корреляции , то признаки и могут быть связаны нелинейной корреляционной или даже функциональной зависимостью.

3. Если абсолютная величина , то наблюдаемые значения признаков связаны линейной функциональной зависимостью.

4. С возрастанием абсолютной величины выборочного коэффициента корреляции линейная корреляционная зависимость становится более тесной и при переходит в функциональную.

Величина коэффициента корреляции характеризует силу линейной связи между признаками ():

если – связь слабая;

если – связь умеренная;

если – связь заметная;

если – связь высокая;

если – связь весьма высокая;

если – связь функциональная.

5. Знак выборочного коэффициента корреляции совпадает со знаком выборочного коэффициента регрессии: , и определяет направление связи. Если – связь прямая, – связь обратная.

Перемножим первое и второе равенства ; .

Знак при радикале должен совпадать со знаком коэффициента регрессии, т.е. , если ; , если .

Выборочный коэффициент корреляции равен среднему геометрическому выборочных коэффициентов регрессий.