Точечная и интервальная оценки коэффициентов корреляции нормально распределенной генеральной совокупности

Если выборка имеет достаточно большой объем и хорошо представляет генеральную совокупность, то заключение о тесноте линейной зависимости между признаками, полученное по данным выборки, в известной степени может быть распространено на генеральную совокупность. В качестве точечной оценки коэффициента корреляции генеральной совокупности берут .

Для интервальной оценки коэффициента корреляции нормально распределенной генеральной совокупности () имеем:

. (8)

Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции

Пусть двумерная генеральная совокупность , распределена нормально. Из этой совокупности извлечена выборка объема и по ней найден выборочный коэффициент корреляции , который оказался отличным от 0.

Так как выборка отобрана случайно, то еще нельзя заключить, что коэффициент корреляции генеральной совокупности также отличен от 0.

Нас интересует именно этот коэффициент . Поэтому возникает необходимость при заданном уровне значимости a проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе .

Если гипотеза будет опровергнута, то это означает, что выборочный коэффициент корреляции значительно отличается от 0, а и связаны линейной зависимостью.

Если нулевая гипотеза будет принята, то выборочный коэффициент корреляции не значим, а и не связаны линейной зависимостью.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину , где – объем выборки.

Величина при справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений через и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.

Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины, при конкурирующей гипотезе надо вычислить наблюдаемое значение критерия и по таблице критических точек распределения Стьюдента по заданному уровню значимости и числу степеней свободы найти критическую точку для двусторонней критической области.

Если – нет основания отвергнуть нулевую гипотезу. Если – нулевую гипотезу отвергают и, следовательно, выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от 0, то есть и линейно корреляционны.

Корреляционное отношение

Ранее рассматривалась теснота линейной корреляционной связи. Вопрос: как оценить тесноту любой корреляционной связи?

Так как все значения признака разбиты на группы, можно представить общую дисперсию признака в виде суммы внутригрупповой и межгрупповой дисперсии.

. (9)

Определение. Групповой дисперсией называют дисперсию значений признака, принадлежащих группе, относительно групповой средней.

, (10)

где – частота значений при , – номер группы, , – групповая средняя группы , – объем группы .

Определение. Внутригрупповой дисперсией называют среднюю арифметическую групповых дисперсий, взвешенную по объемам групп.

, (11)

– объем всей совокупности.

Определение. Межгрупповой дисперсией называют дисперсию групповых средних относительно общeй средней.

, (12)

где – общая средняя.

Определение. Общей дисперсией называют дисперсию значений признака всей совокупности относительно общей признака.

. (13)

Для оценки тесноты нелинейной корреляционной связи вводят корреляционные характеристики:

1) – выборочное корреляционное отношение к .

(14)

2) – выборочное корреляционное отношение к .

(15)