Матричный метод решения системы уравнений. Метод Гаусса.

Методом Гаусса решаются системы линейных уравнений, в которых число неизвестных может быть либо равно числу уравнений (), либо отлично от него (). Исключим сначала неизвестное из всех уравнений системы, кроме первого. Для этого прежде всего разделим обе части первого уравнения на коэффициент ; тогда получим новую систему, равносильную данной:

 

Система вида (13) называется ступенчатой, а система вида (14) – треугольной.

Переход системы (2) к равносильной ей системе (13) или (14) называется прямым ходом метода Гаусса, нахождение неизвестных из последних систем – обратным ходом.

Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя преобразования не с самими уравнениями, а с матрицей их коэффициентов. Рассмотрим матрицу

, (15)

называемую расширенной матрицей системы (2), так как в ней кроме матрицы системы , дополнительно включен столбец свободных членов.

7) Векторы. Линейные операции над векторами. Направляющие косинусы и длина вектора. Условие коллинеарности двух векторов. Определение 3.1. Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой и конечной точкой (который можно перемещать параллельно самому себе).

Если даны начало вектора (точка А) и его конец (точка В), то вектор обозначается или . Определение 3.1. Длиной (или модулем) вектора называется число, равное длине отрезка , изображающего вектор. Определение 3.2. Нуль-вектором называется вектор, у которого конец совпадает с началом, он обозначается: .

Направление нуль-вектора не определено. Можно считать, что нуль-вектор имеет любое желаемое в данный момент направление.

Суммой двух векторов называется вектор, полученный по правилу «треугольника»: второй вектор откладывается так, чтобы его начало совпало с концом первого вектора .

Суммой будет являться «замыкающий» вектор , начало которого совпадает с началом первого вектора , а конец – с концом второго вектора .

 

 

Свойства сложения векторов.

1. Коммутативный закон сложения: .

2. Ассоциативный закон сложения: .

3. .

Определение 3.6. Противоположным к вектору называется такой вектор, что его сумма с равна нуль-вектору.

Противоположный к вектор обозначается : . Определение 3.7. Разностью двух векторов называется сумма векторов и противоположного к : . Определение 3.8. Произведением вектора на действительное число называется вектор , коллинеарный вектору имеющий длину , направление которого совпадает с направлением вектора , если , и противоположно ему, если .

Свойства умножения вектора на число.

1. Коммутативный закон: .

2. Ассоциативный закон: .

3. Дистрибутивный закон: .

Доказательства этих свойств вытекают непосредственно из определения операции.

Теорема 3.1. Два вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда или .

Определение 3.9. Единичным называется вектор, длина которого равна единице.

Вектор характеризуется длиной и направлением. Длина вектора (его модуль) вычисляется по формуле (8). Направление вектора в пространстве можно задать углами , которые составляет вектор с осями координат. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора.

Пусть дан вектор . Тогда: ; ; , откуда:

; ; . (11)

Подставляя в формулы (11) выражение (8) для , получим:

; ; (12)

Возводя каждое из выражений (12) в квадрат и складывая, получим:

. (13)

Таким образом, среди трех углов независимыми являются только два, а третий определяется из соотношения (13).

Замечание. Вектор в трехмерном пространстве задается тремя скалярными величинами. Это могут быть три координаты или два угла и длина вектора и т.д. Аналогично этому вектор в двумерном пространстве определяется двумя скалярными величинами: двумя координатами или углом и длиной и т.д.

Пусть векторы и коллинеарны. В соответствии с теоремой 3.1 или , что означает для координат выполнение следующих соотношений: или . Выразив из этих равенств и приравняв, получим:

или . (14)

Таким образом, для того, чтобы два вектора и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональны.