Свойства векторного произведения.

1. (антикоммутативность).

Доказательство: Из определения следует, что векторы и имеют одинаковую длину и противоположные направления:

.

2. (ассоциативность).

Докажем это свойство для : вектор имеет то же направление, что и вектор . Вектор при имеет то же направление. Длины этих векторов также совпадают: , . Аналогично проводится доказательство для случая .

3. (дистрибутивность).

Без доказательства.

.6. Геометрический смысл векторного произведения: Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах.

10. Смешанное произведение трех векторов и его геометрический смысл. Условие компланарности векторов.

Определение 4.3. Векторы, параллельные одной плоскости, называются компланарными. Очевидно, что два вектора всегда компланарны.

Теорема. Для того чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

Определение 4.2. Смешанным произведением трех векторов , и называется число, равное , т.е. скалярному произведению векторного произведения первых двух на третий вектор.

Свойства смешанного произведения.

1. .

Доказательство этих соотношений проводится аналогично выводу формулы (4). Чтобы их запомнить заметим, что при «циклической перестановке» векторов (вектор передвигается на следующее место, а последний – на первое) знак не меняется, а при перестановке двух соседних векторов знак смешанного произведения меняется.

2. Геометрический смысл смешанного произведения.Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на ребрах.

Параметрическое и каноническое уравнения прямой на плоскости.

Так как координаты вектора и известны координаты вектора , то можно записать векторное уравнение прямой (1) в координатах: Полученную систему называют параметрическим уравнением прямой.

Выражая параметр из каждого уравнения параметрической системы (2), получим

Û

Опуская , получим каноническое уравнение прямой:

, (3)

где - координаты точки, через которую проходит прямая, а - координаты направляющего вектора.

Приведенное и общее уравнения прямой. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Критерий перпендикулярности.

общее уравнение прямой

.

приведенное уравнение прямой , где , .

Таким образом, угол между прямыми находится по формуле:

. (9)

В частности, если угол составляет , то . Это возможно, если . Получаем критерий перпендикулярности прямых

или (10)

Критерием параллельности двух невертикальных прямых на плоскости и является равенство:

, (11)

т.к. .

Уравнения прямой в пространстве.

Прямую в пространстве можно задать как пересечение двух плоскостей, т.е. системой:

Уравнения плоскости в пространстве.

, где .

Уравнение (5) называется общим уравнением плоскости.