Полярные координаты на плоскости. Связь между полярными и декартовыми координатами.

Полярная система координат на плоскости определяется заданием некоторой точки О, луча , исходящего из этой точки, и единицы масштаба. Точка О называется полюсом, а луч - полярной осью.

М

О

Пусть М – произвольная точка плоскости. Обозначим через ее расстояние от полюса и через угол, отсчитываемый от полярной оси против часовой стрелки до направления ОМ. Числа и называются полярными координатами точки М, при чем величина называется полярным радиусом, а - полярным углом точки М.

По своему определению величина неотрицательная (). Если ограничить изменение угла пределами

то каждой точке плоскости однозначно отвечает пара чисел .

20. Функция. Способы задания функции. Основные характеристики функции.

Отрезок (сегмент) .

Интервал .

Полуинтервал ,

Определение 1. Абсолютной величиной или модулем действительного числа называется само это число, если и число , если :

Свойства модуля действительного числа: 1) , 2) , 3) , если , 4) , если , 5) , 6) для , 7) ,8) .

Определение 4. Числовая функция называется четной, если для всех .

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Определение 5. Числовая функция называется нечетной, если для всех .

Определение 6. Функция называется периодической с периодом , если для любого .

Определение 7. Функция называется ограниченной, если существует такое число , что для всех выполняется неравенство: .

Определение 8. Функция называется возрастающей (убывающей) на множестве , если для любых из неравенства следует неравенство ().

Определение 9. Функция называется обратимой, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции .

Определение 10. Основными элементарными функциями являются: постоянная функция ( ), степенная ( ), показательная ( ), логарифмическая ( ), тригонометрические ( , , , ) и обратные тригонометрические ( , , , ).

Числовая последовательность и ее предел. Сходимость числовой последовательности.

Определение 1. Функция , областью определения которой является множество натуральных чисел , называется функцией натурального аргумента, или числовой последовательностью.

Определение 2. Число называется пределом числовой последовательности , если для любого положительного сколь угодно малого числа найдется такое натуральное число , что для всех выполняется неравенство

.

Обозначение предела:

Предел функции в точке, предел функции в бесконечности. Бесконечно малые функции. Предел монотонных функций.

Определение 3. Число называется пределом функции при , если для любого положительного сколь угодно малого числа существует , такое что для всех , для которых , выполняется неравенство .

. Число определяет некоторую -окрестность точки , т.е. интервал , содержащий точку .

4. Свойства пределов:

1. .

2. .

3. Если , то .

Лемма о пределе промежуточной функции (лемма о двух милиционерах):

Если и , то