Обработка результатов статистических исследований методами аппроксимации

 

В исходных данных задачи содержится таблица ряда измерений экспериментально полученной зависимости вида

 

xi	x1	x2	x3	....	xn
yi	y1	y2	y3	....	yn

 

Предполагается, что аналитическое выражение указанной зависимости неизвестно. Тогда возникает практически важная задача аппроксимации, которая заключается в том, чтобы найти такую простую аналитическую функцию y = j (x), значения которой в известных точках x_i по возможности мало бы отличалось от опытных данных.

Аналитическая функция вида j (x), в пределах опыта с достаточной точностью определяющая зависимость между величинами x и y, называется эмпирической. К эмпирическим функциям могут относиться линейная y = a + bx, квадратичная y = a + bx + cx² и другие.

Введем величины D _i = j (x_i) – y_i, которые назовем уклонениями. Это - расстояние по вертикальной оси от кривой j (x) до точек (x_i, y_i), взятые со знаком «+»или «–».

При решении задачи аппроксимации по методу наименьших квадратов полагают, что погрешность аппроксимации минимальна, если сумма квадратов уклонений d является наименьшей, т. е.

 

(7)

 

 

Аппроксимация эмпирической линейной функцией

Подставим в зависимость (7) выражение линейной функции. Получим

 

 

Величины а и в неизвестны. Их надо подобрать так, чтобы величина d приняла наименьшее значение. Известно, что в точке минимума частные производные функции обращаются в ноль, т. е. ¶d / ¶a = 0 и ¶d / ¶в = 0.

Найдя выражение для частных производных и приравняв их нулю, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными а и в. После упрощения получим

 

 

Решая эту систему уравнений методом Крамера, находим а и в.

Определитель системы:

 

 

Определитель а:

 

.

 

Определитель в:

 

.

 

Неизвестные a = D a /D, b = D b /D.

Аппроксимация эмпирической квадратичной функцией

Подставим в зависимость (7) выражение квадратичной функции. Получим

 

 

Величины а, в и с неизвестны. Найдя выражение для частных производных и приравняв их нулю, получим систему трех уравнений с тремя неизвестными а, в и с.

После упрощения получим:

 

Решая эту систему уравнений методом Крамера, находим а, в и с.

Определитель системы

 

 

Определитель а

 

 

Определитель в

 

 

Определитель с

 

 

Неизвестные a = D a /D, b = D b /D, c = D c /D.

 

Приложение 1

 

Министерство общего и профессионального образования

Российской Федерации

Санкт-Петербургская государственная лесотехническая академия

Сыктывкарский лесной институт

 

Факультет__________________________

Курс_______________________________

 

Группа_____________________________

 

Специальность______________________

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ИНФОРМАТИКЕ

 

Тема ______________________________

 

Студент ___________________________

Руководитель ______________________

 

 

СЫКТЫВКАР 1999

Приложение 2

Фрагменты программ, наиболее часто используемых студентами при выполнении курсового задания (для алгоритмического языка QBasic).

 

Окна и меню

DIM B$ (13)

B$ (0)=" "

B$(1)= " КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ИНФОРМАТИКЕ "

B$ (2)=" Выполнил Иванов Иван Иванович "

B$ (3)=" студент 2-го курса, специальность ТХПД, д/о "

B$ (4)=" 1998 г. "

B$ (5)=" "

B$ (6)=" СТАТИСТИКА ХИМИЧЕСКИХ РЕАКТОРОВ "

B$ (7)=" МЕНЮ: "

B$ (8)=" 1. Формирование файла данных "

B$ (9)=" 2. Просмотр файла данных "

B$ (10)=" 3. Загрузка файла данных и решение задачи "

B$ (11)=" 4. Графическая иллюстрация результатов "

B$ (12)=" 5. Выход "

B$ (13)=" "

COLOR 15,2:CLS ‘ цвет (цвет символов с 0 по15, цвет фона с 0 по 7)

LOCATE 4 ‘ установить курсор в 4-ой строке экрана

FOR I=0 TO 5

PRINT TAB(18): COLOR 15,1: PRINT B$(I): COLOR 15,2

NEXT I

LOCATE 23,22 ‘ установить курсор в 23-ой строке и 22-ой позиции экрана

COLOR 15: PRINT "Для продолжения нажмите любую клавишу"

SLEEP 100 ' выждать 100 сек или нажать любую клавишу

7 COLOR 15,2: CLS: LOCATE 6

FOR I=5 TO 13

PRINT TAB(18):COLOR 14,6: PRINT B$(I):COLOR 15,2

NEXT I

LOCATE 17,25: COLOR 15,5

INPUT " ВВЕДИТЕ НУЖНЫЙ НОМЕР"; NM:COLOR 15,2

6 ON NM GOTO 1,2,3,4,5

LOCATE 20,27: COLOR 14: INPUT "Уточните номер"; NM: GOTO 6

1 ‘ Формирование файла данных

COLOR 7,0: CLS

....

GOTO 7

2 ‘ Просмотр файла данных

COLOR 7,0: CLS

....

LOCATE 23,18

COLOR 14: PRINT "Для продолжения нажмите любую клавишу"

SLEEP 100: GOTO 7

3 ‘ Загрузка файла данных и решение задачи

COLOR 7,0: CLS

....

LOCATE 23,18

COLOR 14: PRINT "Для продолжения нажмите любую клавишу"

SLEEP 100: GOTO 7

4 ‘ Графическая иллюстрация результатов

COLOR 7,0: CLS

....

LOCATE 23,18

COLOR 14: PRINT "Для продолжения нажмите любую клавишу"

SLEEP 100: GOTO 7

5 COLOR 7,0: CLS

END

 

 

Вывод таблиц результатов

CLS

READ TN,TK,HT,A

DATA 0,20,2,3.2

Z$=" Равноускоренное движение точки "

L$="———————--———————————————————"

H$="| № п/п | t, сек | S, м | V, м/с |"

F$="| ## | ## | ###.# | ##.# |"

PRINT Z$

PRINT L$

PRINT H$

PRINT L$

N=1

FOR T=TN TO TK STEP HT

S=A*T^2/2

V=A*T

PRINT USING F$;N,T,S,V

N=N+1

NEXT T

PRINT L$

END