Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Опр. Функция y = (x) наз. бесконечно малой при х а, если lim (x) = 0. Функция y = f(x) наз. бесконечно большой при х а (lim f(x) = ), если становится больше любого наперед заданного числа, или, если для любого числа М > 0 существует такое число , зависящее только от М, что из неравенства 0 < |x – a| < следует неравенство | f(x)| > M

Теорема. Функция обратная к бесконечно малой является бесконечно большой и наоборот.

Действительно, если бесконечно малая функция (х) при х а оказывается в знаменателе дроби, то дробь неограниченно возрастает и становится бесконечно большой функцией 1/ (х) при х а.

Леммы о бесконечно малых.

Лемма 1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых при х а является бесконечно малой.

Док-во. Пусть U(x) = (x) + (x), где lim (x) = 0, lim (x) = 0 при х а.

Возьмем произвольное число > 0. Поскольку функции (х) и (х) имеют предел, то всегда можно подобрать такой интервал |х – 0| < , что | (x) – 0| < /2, | (x) – 0| < /2 и, следовательно, | (х) + (х) - 0| < . Последнее неравенство означает, что разность | U(x) – 0| делается меньше любого , лишь только | х – а| становится меньше соответствующего , т.е. функция U(x) имеет предел в точке 0: lim U(x) = 0 при х а.

Опр. Функция y = f(x) наз. ограниченной в окрестности точки а, если существует число М> 0, такое что |f(x)| < M в этой окрестности.

Всякая функция y = f(x), имеющая предел lim f(x) = b при х а ограничена в окрестности точки а. Действительно, | f(x)| = |f(x) – b + b| < |f(x) – b| + |b| < (x) + |b|

 

Лемма 2. Произведение ограниченной в окрестности точки а функции на бесконечно малую при х а является бесконечно малой.

Док-во. Пусть (x) = f(x) (x), где | f(x)| < M и lim (x) = 0 при х а

Т.к. функция (х) имеет предел в точке 0, то для любого числа /М>0 найдется

- окрестность точки а, в которой | (х) – 0 | < /M и, следовательно, интервал | (х) - 0 | = |f(x)| | (x) – 0 | < M /M = будет уже произвольной величины , что означает lim (x) = 0 при х а, т.е. произведение f(x) (х) есть б.м.в. в окрестности точки а.

Теоремы о пределах.

Вычисление пределов функций основывается на следующих теоремах:

Сравнение бесконечно малых.

Пусть при x®a функции a(х) и b(х) - бесконечно малые. Тогда:

1.Если 0, то b наз. бесконечно малой высшего порядка относительно a.

2. Если , то b наз. бесконечно малой n – ого порядка относительно a.

3. Если 1, то a и b наз. эквивалентными бесконечно малыми. a» b

При вычислении пределов эквивалентные бесконечно малые могут заменять друг друга.

 

Замечательные пределы.

Теперь имеем два способа определения значения функции в точке: а) прямая подстановка аргумента в формулу y = f(x); б) предельный процесс - процесс осторожного приближения к выбранной точке. В большинстве случаев оба способа дают одинаковый результат, но в отдельных точках прямая подстановка приводит к неопределенностям типа {0/0}, {¥/¥}, {¥ - ¥}, { }, { }, { }. Тогда значение функции определяется через предельный процесс и процедуру раскрытия неопределенностей.

В основе аппарата мат.анализа лежат пределы нескольких функций, которые получили название - замечательные пределы. Раскроем их неопределенности.

 

Первый замечательный предел lim sinx / x = 1 при x® 0

Имеем окружность R = 1 и касательные AD, BD. Из прямоугольных DОАС и DОАD следует: sin x = AC/1, tg x = AD/1. Точки А и В соединяют три линии: прямая АВ = 2АС = 2 sin x, дуга АВ = 2х и ломаная ADB = 2 AD = 2 tg x. Из соотношения длин этих линий следует: 2sin x < 2x < 2tg x Þ 1 < x/sin x < 1/cos x Þ Þ 1 > sin x / x > cos x. При переходе в неравенстве к пределу x ® 0 имеем lim cos x = 1, 1 ³ lim sin x / x ³ 1 и, следовательно, lim sin x / x =1 при x ® 0.

 

Натуральное число e.

Логарифмическая функция y = log_ax является обратной для показательной функции y = a^x. Графики этих функций расположены симметрично относительно биссектрисы y = x и при произвольном а пересекают оси Ох, Оу всегда в одной точке (1;0) и (0;1). Проведем через эти точки касательные к кривым. Они пересекуться на биссектрисе и точка пересечения будет перемещаться вдоль нее при изменении основания а. В определенный момент, при а = 2,72... касательные станут

параллельны друг другу и оси симметрии. Их угловой коэффициент k = tg 45⁰ = 1. Основание логарифма, приводящее к высшей степени симметрии графиков показательной и логарифмической функций, наз. натуральным числом и обозначается е = 2,72.... Многие соотношения связанные с е удивительно просты и симметричны.

Непрерывность функции.

С понятием предела функции связано другое важное понятие – непрерывность функции. На графике непрерывным функциям соответствуют непрерывные линии.

Пусть y = f(x) определена в точке х_o и ее окрестности. Величина х = х – х_o наз. приращением аргумента, y = y – y_o - соответствующим приращением функции.

Опр.1 Функция y = f(x) наз. непрерывной в точке х, если она определена в этой точке и ее окрестности и бесконечно малому приращению аргумента х соответствует бесконечно малое приращение функции y, т.е.

lim y = 0 при х 0 (1)

 

Следствие: Основные элементарные функции являются непрерывными во всех точках области определения D(f), т.к. они имеют предел в каждой из точек и удовлетворяют условию (1)

y = a^x, y = , lim y = lim (a - 1) = 0 при х 0

y = log_a x, y = log_a(x + x) - log_a x = log_a (1 + x/x), lim y = lim log_a(1 + x/x) = 0

y = x², y = (x + x)² - x² = 2x x + ( x)², lim y = lim [2x x + ( x)² ] = 0

Опр.2 Функция y = f(x) наз. непрерывной в точке х_o, если ее предел в х_o совпадает со значением функции в этой точке.

lim f(x) = f(x_o) при x x_o (2)

Покажем эквивалентность этих определений:

lim y = 0 lim(f(x) – f(x_o)) = 0 lim f(x) = f(x_o), при

x 0 x x_o const x x_o

Условие (2) позволяет для непрерывных функций переход к пределу функции заменить на переход к пределу аргумента

lim f(x) = f (lim x), при (3) x x_o x x_o

Для y = f(x) определенной на [a,b] предельный процесс около внутренней точки x (a < x < b) можно организовать двумяспособами, подходя к точке x слева или справа lim f(x) = f(x_o – 0), lim f(x) = f(x_o + 0)

x x_o - 0 x x_o + 0

Это левосторонний и правосторонний пределы.

 

Опр.3 Функция y = f(x) наз. непрерывной в точке х_o, если ее левосторонний и правосторонний пределы совпадают f(x_o – 0) = f(x_o+ 0) = f(x_o)

Опр. Функция y = f(x) наз. непрерывной на промежутке [a,b], если она непрерывна в каждой его точке. На концах lim f(x) = f(a), lim f(x) = f(b)

x a + 0 x b - 0

Точки разрыва.

Непрерывность функции может быть нарушена в отдельных точках. Три типа точек разрыва:

1) x₀ - устранимая точка разрыва, когда f(x₀ - 0) = f(x₀ + 0), но в самой точке х₀ функция не определена;

2) x₀ - точка разрыва 1 рода, когда f(x - 0) f(x + 0), но пределы конечны;

3) x₀ - точка разрыва 2 рода, когда f(x - 0) f(x + 0) и пределы бесконечны;

 

 

 

Пр.

 

 

y = sinx/ x, x = 0 f(x) = |x| /x, x = 0 y = 1/x, x = 0

Свойства функций, непрерывных в точке.

1) Если функции g(x) и h(x) непрерывны в точке х_o, то функции g(x) + h(x),

g(x) h(x), g(x)/h(x) при h(x_o) 0 также являются непрерывными функциями.

lim (g(x) + h(x)) = lim g(x) + lim h(x) = g(x_o) + h(x_o)

x x_o x x_o x x_o

Для остальных функций доказательство аналогично.

 

2) Сложная функция, составленная из непрерывных функций, также является непрерывной.

Док-во. Пусть функция y = g(z) непрерывна в точке z_o, а z = h(x) в точке х_o, причем, z_o = h(x_o). По определению непрерывности lim h(x) = z_o, lim g(z) = g(z_o)

x – x_o z – z_o

Т.к. предел сложной функциипри х х_o равен значению функции в точке х_o

lim g(h(x)) = lim g(z) = g(z_o) = g (h(x_o))

то функция является непрерывной.

 

Следствие. Элементарные функции образуются из основных элементарных функций с помощью арифметических операций или являются их суперпозициями. Поскольку основные элементарные функции непрерывны, то в силу свойств 1) и 2) все составленные из них элементарные функции также непрерывны и изображаются на графиках сплошными линиями в области своего определения.

 

Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Опр. Функция y = (x) наз. бесконечно малой при х а, если lim (x) = 0. Функция y = f(x) наз. бесконечно большой при х а (lim f(x) = ), если становится больше любого наперед заданного числа, или, если для любого числа М > 0 существует такое число , зависящее только от М, что из неравенства 0 < |x – a| < следует неравенство | f(x)| > M

Теорема. Функция обратная к бесконечно малой является бесконечно большой и наоборот.

Действительно, если бесконечно малая функция (х) при х а оказывается в знаменателе дроби, то дробь неограниченно возрастает и становится бесконечно большой функцией 1/ (х) при х а.

Леммы о бесконечно малых.

Лемма 1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых при х а является бесконечно малой.

Док-во. Пусть U(x) = (x) + (x), где lim (x) = 0, lim (x) = 0 при х а.

Возьмем произвольное число > 0. Поскольку функции (х) и (х) имеют предел, то всегда можно подобрать такой интервал |х – 0| < , что | (x) – 0| < /2, | (x) – 0| < /2 и, следовательно, | (х) + (х) - 0| < . Последнее неравенство означает, что разность | U(x) – 0| делается меньше любого , лишь только | х – а| становится меньше соответствующего , т.е. функция U(x) имеет предел в точке 0: lim U(x) = 0 при х а.

Опр. Функция y = f(x) наз. ограниченной в окрестности точки а, если существует число М> 0, такое что |f(x)| < M в этой окрестности.

Всякая функция y = f(x), имеющая предел lim f(x) = b при х а ограничена в окрестности точки а. Действительно, | f(x)| = |f(x) – b + b| < |f(x) – b| + |b| < (x) + |b|

 

Лемма 2. Произведение ограниченной в окрестности точки а функции на бесконечно малую при х а является бесконечно малой.

Док-во. Пусть (x) = f(x) (x), где | f(x)| < M и lim (x) = 0 при х а

Т.к. функция (х) имеет предел в точке 0, то для любого числа /М>0 найдется

- окрестность точки а, в которой | (х) – 0 | < /M и, следовательно, интервал | (х) - 0 | = |f(x)| | (x) – 0 | < M /M = будет уже произвольной величины , что означает lim (x) = 0 при х а, т.е. произведение f(x) (х) есть б.м.в. в окрестности точки а.

Теоремы о пределах.

Вычисление пределов функций основывается на следующих теоремах: