Второй замечательный предел.

Построим на графике функции y = ln x секущую MN, где M(1,0), N(1+h,ln(1+h)). Тогда tg (NMK) = ln(1+h) / h. При N®M секущая переходит в касательную и tg NMK ® tg 45⁰ = =1, т.е. lim (ln(1+h)/h) = 1. Используем тождество e^lny = y. Тогда

lim (1+h)^1/h = lim e^{ln (1+h)/h} = e^{lim (ln(1+h)/h)} = e при h ® 0

При замене h = 1/x, где x ® ¥, получаем другую запись предела

 

(a) lim ln(1+x) / x = 1; (b) lim (1+x)^1/x = e; (c) lim (1+1/x)^x = e

x ® 0 x ® 0 x ® ¥

Общие правила раскрытия неопределенностей

1. {0/0} При вычислении пределов дробно-рациональных функций

используется основная теорема алгебры, т.е. многочлены представляется как произведение двучленов (Пр. x² + bx + c = (x – x₁)(x – x₂)) и взаимно сокращаются одинаковые.

Пр.

2. {¥ / ¥} Вынесем х в максимальной степени за скобки в R_n(x), Q_m(x) и сократим

Пр. = {¥/¥} =

3. {¥ - ¥} Проведем вычитание дробей или умножим числитель и знаменатель разности на сопряженный двучлен

Пр. {¥ - ¥} =

4. Для того чтобы избавится от двучленов с корнями можно умножить их на сопряженные двучлены

Пр. {0/0} = =

5. {0 ¥} В общем случае: = {0 ¥} = = {0/0}

6. { }, { }, { } В случае показательно-степенной функции тип

неопределенности меняем с помощью тождества e^{ln y}= y, т.е.

= exp(ln ) = exp(

 

= exp( ln ) = e^{B lnA} = A^B

где A = > 0; B =

т.е. при переходе к пределу показательно-степенной функции основание и степень заменяются на их пределы.

Пр. =A^B =(3/4)^1/2 , т.к. A = ;B =

В случае А = 1, В = ¥ используют преобразование

= = exp { [f(x) – 1] },

т.е. А = e, B = [f(x) – 1]

 

Пр. = exp { } = e^-7 , т.к.

А = 1, В = ¥

 

Непрерывность функции.

С понятием предела функции связано другое важное понятие – непрерывность функции. На графике непрерывным функциям соответствуют непрерывные линии.

Пусть y = f(x) определена в точке х_o и ее окрестности. Величина х = х – х_o наз. приращением аргумента, y = y – y_o - соответствующим приращением функции.

Опр.1 Функция y = f(x) наз. непрерывной в точке х, если она определена в этой точке и ее окрестности и бесконечно малому приращению аргумента х соответствует бесконечно малое приращение функции y, т.е.

lim y = 0 при х 0 (1)

 

Следствие: Основные элементарные функции являются непрерывными во всех точках области определения D(f), т.к. они имеют предел в каждой из точек и удовлетворяют условию (1)

y = a^x, y = , lim y = lim (a - 1) = 0 при х 0

y = log_a x, y = log_a(x + x) - log_a x = log_a (1 + x/x), lim y = lim log_a(1 + x/x) = 0

y = x², y = (x + x)² - x² = 2x x + ( x)², lim y = lim [2x x + ( x)² ] = 0

Опр.2 Функция y = f(x) наз. непрерывной в точке х_o, если ее предел в х_o совпадает со значением функции в этой точке.

lim f(x) = f(x_o) при x x_o (2)

Покажем эквивалентность этих определений:

lim y = 0 lim(f(x) – f(x_o)) = 0 lim f(x) = f(x_o), при

x 0 x x_o const x x_o

Условие (2) позволяет для непрерывных функций переход к пределу функции заменить на переход к пределу аргумента

lim f(x) = f (lim x), при (3) x x_o x x_o

Для y = f(x) определенной на [a,b] предельный процесс около внутренней точки x (a < x < b) можно организовать двумяспособами, подходя к точке x слева или справа lim f(x) = f(x_o – 0), lim f(x) = f(x_o + 0)

x x_o - 0 x x_o + 0

Это левосторонний и правосторонний пределы.

 

Опр.3 Функция y = f(x) наз. непрерывной в точке х_o, если ее левосторонний и правосторонний пределы совпадают f(x_o – 0) = f(x_o+ 0) = f(x_o)

Опр. Функция y = f(x) наз. непрерывной на промежутке [a,b], если она непрерывна в каждой его точке. На концах lim f(x) = f(a), lim f(x) = f(b)

x a + 0 x b - 0

Точки разрыва.

Непрерывность функции может быть нарушена в отдельных точках. Три типа точек разрыва:

1) x₀ - устранимая точка разрыва, когда f(x₀ - 0) = f(x₀ + 0), но в самой точке х₀ функция не определена;

2) x₀ - точка разрыва 1 рода, когда f(x - 0) f(x + 0), но пределы конечны;

3) x₀ - точка разрыва 2 рода, когда f(x - 0) f(x + 0) и пределы бесконечны;

 

 

 

Пр.

 

 

y = sinx/ x, x = 0 f(x) = |x| /x, x = 0 y = 1/x, x = 0

Свойства функций, непрерывных в точке.

1) Если функции g(x) и h(x) непрерывны в точке х_o, то функции g(x) + h(x),

g(x) h(x), g(x)/h(x) при h(x_o) 0 также являются непрерывными функциями.

lim (g(x) + h(x)) = lim g(x) + lim h(x) = g(x_o) + h(x_o)

x x_o x x_o x x_o

Для остальных функций доказательство аналогично.

 

2) Сложная функция, составленная из непрерывных функций, также является непрерывной.

Док-во. Пусть функция y = g(z) непрерывна в точке z_o, а z = h(x) в точке х_o, причем, z_o = h(x_o). По определению непрерывности lim h(x) = z_o, lim g(z) = g(z_o)

x – x_o z – z_o

Т.к. предел сложной функциипри х х_o равен значению функции в точке х_o

lim g(h(x)) = lim g(z) = g(z_o) = g (h(x_o))

то функция является непрерывной.

 

Следствие. Элементарные функции образуются из основных элементарных функций с помощью арифметических операций или являются их суперпозициями. Поскольку основные элементарные функции непрерывны, то в силу свойств 1) и 2) все составленные из них элементарные функции также непрерывны и изображаются на графиках сплошными линиями в области своего определения.