Предел постоянной равен самой постоянной.

Док-во. Рассмотрим предел разности между функцией f(x) = c и константой с lim (f(x) – c) = 0. Т.к. предел равен 0 при любом значении х, то lim c = c при x R.

2. Для того чтобы lim f(x) = b при х а, необходимо и достаточно выполнение равенства f(x) = b + (x), где (х) - б.м.в. при х а.

Док-во. Необходимость:

lim f(x) = b lim [f(x) – b] = 0 = lim (x) f(x) – b = (x) f(x) = b + (x)

Достаточность: По определению предела, для х а должно выполняться неравенство | f(x) – b| < , где > 0, и оно выполняется |b + (x) – b| = | (x)| < , т.к. б.м.в. (х) делается меньше любого наперед заданного числа

3. Предел суммы конечного числа функций, имеющих пределы при х а, равен сумме их пределов.

Док-во. Пусть lim f₁(x) = b₁, lim f₂(x) = b₂ при х а. Сумму двух функций в окрестности точки а согласно Т.2 представим в виде f₁(x) + f₂(x) = (b₁ + ₁(x)) + + (b₂ + ₂(x)) = b₁ + b₂ + (x), где б.м.в. (х) = ₁ (х) + ₂(x) согласно Л.1.

Тогда lim [f₁(x) + f₂(x) - b₁ - b₂ ] = lim (x) = 0 при х а и по определению

lim [f₁(x) + f₂(x)] = b₁ + b₂ = lim f₁(x) + lim f₂(x).

х а х а х а

4. Предел произведения конечного числа функций, имеющих предел при х а равен произведению пределов.

Док-во. Произведение двух функций в окрестности точки а по Т.2 равно

f₁(x) f₂(x) = (b₁ + ₁(x)) (b₂ + ₂(x)) = b₁b₂ + { b_{1 2}(x) + b_{2 1}(x) + ₁(x) ₂(x) },

где фигурные скобки есть б.м.в. (x) согласно Л.1 и Л.2. Поэтому

lim [f₁(x) f₂(x) - b₁b₂ ] = lim (x) = 0 при х а и по определению

lim f₁(x) f₂(x) = b₁b₂ = { lim f₁(x)} {lim f₂(x) }

х а х а х а

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

lim [c f(x)] = c lim f(x) при х а

5. Предел отношения двух функций, имеющих пределы при х а, равен отношению их пределов (если предел знаменателя не нуль)

Док-во. Аналогичным образом получаем, что разность f₁(x)/f₂(x) - b₁/ b₂ есть б.м.в. и переход к пределу по этой разности дает

lim f₁(x)/f₂(x) = b₁/ b₂ = lim f₁(x) / lim f₂(x)

x а х а х а

6. Всякая монотонно возрастающая (убывающая) и ограниченная в окрестности точки а функция y = f(x) имеет в этой точке конечный предел

Док-во. Пусть в окрестности точки а функция y = f(x) монотонно возрастает (f(x₁) < f(x₂) при х₁ < x₂) иограничена f(x) A, где А -точная верхняя граница множества значений функции в этой окрестности. Для произвольного > 0 можно всегда подобрать x < a, такое, что f(x) > A - . С другой стороны f(x) A <A+ . Объединим оба неравенства

A - < f(x) < A + и получим, что всегда можно подобрать такие значения х при которых функция y = f(x) окажется в -окрестности точки А, т.е. конечный предел существует.

 

Следствие: Поскольку основные элементарные функции являются кусочно-монотонными и ограниченными за исключением отдельных точек, то во всех точках области определения этих функций существует конечный предел, а в особых точках предел равен бесконечности. (!!!)

 

 

Сравнение бесконечно малых.

Пусть при x®a функции a(х) и b(х) - бесконечно малые. Тогда:

1.Если 0, то b наз. бесконечно малой высшего порядка относительно a.

2. Если , то b наз. бесконечно малой n – ого порядка относительно a.

3. Если 1, то a и b наз. эквивалентными бесконечно малыми. a» b

При вычислении пределов эквивалентные бесконечно малые могут заменять друг друга.

 

Замечательные пределы.

Теперь имеем два способа определения значения функции в точке: а) прямая подстановка аргумента в формулу y = f(x); б) предельный процесс - процесс осторожного приближения к выбранной точке. В большинстве случаев оба способа дают одинаковый результат, но в отдельных точках прямая подстановка приводит к неопределенностям типа {0/0}, {¥/¥}, {¥ - ¥}, { }, { }, { }. Тогда значение функции определяется через предельный процесс и процедуру раскрытия неопределенностей.

В основе аппарата мат.анализа лежат пределы нескольких функций, которые получили название - замечательные пределы. Раскроем их неопределенности.

 

Первый замечательный предел lim sinx / x = 1 при x® 0

Имеем окружность R = 1 и касательные AD, BD. Из прямоугольных DОАС и DОАD следует: sin x = AC/1, tg x = AD/1. Точки А и В соединяют три линии: прямая АВ = 2АС = 2 sin x, дуга АВ = 2х и ломаная ADB = 2 AD = 2 tg x. Из соотношения длин этих линий следует: 2sin x < 2x < 2tg x Þ 1 < x/sin x < 1/cos x Þ Þ 1 > sin x / x > cos x. При переходе в неравенстве к пределу x ® 0 имеем lim cos x = 1, 1 ³ lim sin x / x ³ 1 и, следовательно, lim sin x / x =1 при x ® 0.

 

Натуральное число e.

Логарифмическая функция y = log_ax является обратной для показательной функции y = a^x. Графики этих функций расположены симметрично относительно биссектрисы y = x и при произвольном а пересекают оси Ох, Оу всегда в одной точке (1;0) и (0;1). Проведем через эти точки касательные к кривым. Они пересекуться на биссектрисе и точка пересечения будет перемещаться вдоль нее при изменении основания а. В определенный момент, при а = 2,72... касательные станут

параллельны друг другу и оси симметрии. Их угловой коэффициент k = tg 45⁰ = 1. Основание логарифма, приводящее к высшей степени симметрии графиков показательной и логарифмической функций, наз. натуральным числом и обозначается е = 2,72.... Многие соотношения связанные с е удивительно просты и симметричны.