Алгоритм генерации гауссовской случайной величины

Алгоритм реализует генерацию значений гауссовской стандартной величины (ГСВ) ξ, имеющей параметры

Работа алгоритма основывается на результатах центральной предельной теоремы, согласно которой сумма n значений одинаково распределенных и независимых случайных величин имеет в пределе (при n →∞ )гауссовское распределение.

Имея датчик РСВ, значение ξ может быть получено как

где αi – независимые значения равномерной случайной величины α, получаемые при последовательных обращениях к датчику РСВ. Величину n достаточно выбирать порядка 10...20. В вычислительном отношении удобно выбирать n = 12, тогда получается простейший алгоритм генерации ГСВ

 

9. Моделирование случайных величин с произвольным законом распределения (1,2,3).

 

Метод нелинейного функционального преобразования. Особенностью данного метода является то, что он может использоваться для генерации величин, заданных аналитическим видом закона распределения.

 

 

Теорема.

Пусть случайная величинаαимеет равномерное распределение винтервале [0, 1]и связана со случайной величиной ξ соотношением

 

 

где f (u) – некоторая функция, удовлетворяющая указанным свойствам.

Тогда случайная величинаξимеет плотность распределения вероятностей вида f (u) и может быть найдена на основе обратного функционального преобразования

Для доказательства найдем функцию распределения ξ. Используем тот факт, что при f (u) > 0 величинаα монотонно возрастающая функция ξ.

 

Также и ξ в этом случае монотонно возрастающая функция α. Тогда для функции распределения ξ выполняется следующая цепочка равенств:

 

Очевидно, что Fξ(y) = ϕ(y), что и требовалось доказать, так как это
означает, что ξ имеет плотность распределения вида f (u)(fξ(u) = f (u)).
Таким образом,последовательность случайных чиселξiс таким
распределением можно получить из соотношения вида

 

где α_i− последовательность значений РСВ, получаемых при обращении к датчику α.

 

 

Пример. Пусть− закон Релея. Тогда

Функциональная связь величин ξ и α определяется соотношением

При непосредственной генерации можно использовать более экономное соотношение

 

так как величина 1−α также имеет равномерное распределение на интервале [0, 1].

 

 

Метод исключений (метод Фон-Неймана). Особенностью данногометода является то, что он может использоваться для генерации величин, заданных как аналитическим видом закона распределения, так и эмпирически полученными распределениями.

 

Теорема.

Пусть функцияg(x)≥0и на ее основе определено множество значений вещественных переменных G ={(x, y), 0 ≤ y ≤ g(x)}.

 

Пусть совместная плотность распределения случайных величинξиη на множестве значений G равна

то есть имеет равномерный вид.

 

Тогда плотность распределения вероятностей случайной величиныξ равна

Учтем, что для функции распределения ξ выполняется

 

Отсюда следует доказательство теоремы, так как