Тема №14 «Дисперсионный анализ»

Цель: научиться применять однофакторный дисперсионный анализ для проверки гипотезы о равенстве математических ожиданий нескольких нормально распределённых генеральных совокупностей.

Краткие теоретические сведения:

Дисперсионный анализ применяют, чтобы установить, оказывает ли существенное влияние некоторый качественный фактор , который имеет уровней на изучаемую величину . Или, фактически, проверяют гипотезу о равенстве математических ожиданий наблюдаемых значений на каждом из уровней.

Идея дисперсионного анализа состоит в сравнении «факторной дисперсии», порожденной воздействием фактора, и «остаточной дисперсии», обусловленной случайными причинами.

Если различия между дисперсиями значимо, то фактор оказывает существенное влияние на , в этом случае математические ожидания наблюдаемых значений на каждом уровне (групповые средние) различаются также значительно.

Пусть на действует фактор , который имеет постоянных уровней. Будем предполагать, что число наблюдений (испытаний) на каждом уровне равно . Тогда наблюдалось значений признака , где – номер испытания, – номер уровня фактора.

Результаты наблюдений оформляются в виде таблицы:

 

№ испытания	Уровни фактора
		…
…	…	…	… … … …	…

 

Далее рассчитываем остаточную и факторную дисперсии по формулам:

,

 

, ,

 

, .

Гипотеза о значимости фактора принимается, если , где уровень значимости, и отвергается, если (смотрите тему о сравнении двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей).

Пример. Произведено 10 испытаний, из них 4 на первом уровне фактора, 4 – на втором и 2 – на третьем.

№ испытания	Уровни фактора

Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями.

Решение.

 

44942-40960=3982,

 

 

=44272-40960=3312,

 

Q_ост =3982-3312=670.

 

S²_факт = , S²_ост = .

 

, .

Так как F_набл>F_кр – нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий отвергаем, следовательно, принимаем гипотезу о значимости фактора.

Контрольные вопросы:

1. Постановка задачи дисперсионного анализа.

2. Факторная и остаточная дисперсии.

3. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий нескольких генеральных совокупностей методом дисперсионного анализа.

4. Двухфакторный дисперсионный анализ.

5. Дисперсионные модели.

Контрольные задания:

1. Произведено по 4 испытания на каждом из трёх уровней. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных генеральных совокупностей с одинаковыми дисперсиями.

 

Номер испытания	Уровни фактора

 

2. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных генеральных совокупностей с одинаковыми дисперсиями.

 

Номер испытания	Уровни фактора

 

3. В четырёх экспериментальных центрах проверялись три методики тестирования. Данные об успешности тестирования приведены в таблице. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить влияние на успешность тестирования методик (фактор А) и экспериментальных центров (фактор В).

	А1	А2	А3
В1
В2
В3
В4

Задания для домашней работы:

При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми генеральными дисперсиями.

 

Номер испытания	Уровни фактора