Тема №2 «Проверка статистических гипотез»

Из двух нормально распределенных генеральных совокупностей и получены малые независимые выборки, объемы которых

и ,

где [ ] означают целую часть числа, заключенного в эти скобки, - порядковый номер фамилии студента в групповом журнале.

Значения вариант и рассчитываются по формулам:

, и , ,

где – номер студенческой группы.

Требуется по данным выборкам при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу при альтернативной гипотезе .

Пример вычисления для студента с параметрами =0, =1.

Решение. Определим объемы выборок:

= = =[2,5]+8=2+8=10

= = =[3]+7=3+7=10.

Далее найдем значения вариант обеих выборок:

x₁=1+5,5=6,5; x₂=7,5; x₃=8,5; x₄=9,5; x₅=10,5; x₆=11,5; x₇=12,5; x₈=13,5; x₉=14,5; x₁₀=15,5;

y₁= =2; y₂=3; y₃=4; y₄=5; y₅=6; y₆=7; y₇=8; y₈=9; y₉=10; y₁₀=11.

Вычислим средние и исправленные дисперсии:

=11;

= ·(2·4,5²+2·3,5²+2·2,5²+2·1,5²+2·0,5²)= · 41,25= · 13,756≈9,167,

=6,5;

= ·(2·4,5²+2·3,5²+2·2,5²+2·1,5²+2·0,5²)=9,167.

Проверим сначала гипотезу о равенстве дисперсий , при конкурирующей .

, , так как , то гипотеза о равенстве дисперсий принимается.

Можно переходить к сравнению математических ожиданий.

, (0,05,18)=2,10, так как то гипотеза о равенстве математических ожиданий отвергается.

 

 

Тема №3 «Оценивание параметров и проверка гипотезы о нормальном законе распределения»

По выборочным данным, представленным ниже, требуется проверить гипотезу о нормальном законе распределения по критериям согласия Пирсона и критерию Колмогорова на уровне значимости 0,05.

Здесь - номер студенческой группы, - номер фамилии студента в журнале.

 

11,70	12,90	10,32	9,50	5,91	11,56	10,81	9,32	13,00	12,90
7,35	11,80	17,00+ /10	14,10	9,74	9,76	6,96	15,05	14,67	9,73+N/10
11,35	10,51	15,95	12,41	13,56	6,68	13,75	16,95	8,81	10,60+N/10
13,90	9,03	7,39	13,85	11,99	6,23	12,56	12,03	12,97	15,95
11,00	7,76	10,48	12,80	12,05	12,33	5,60- /10	8,80	9,85	10,11+ /10
9,75	13,70	12,09	13,40	9,02	6,67	12,37	11,67	12,00	13,60
15,21	9,70	13,70	16,10	13,60	14,40	14,75	8,06	13,01	10,70+N/10
13,57	15,30	12,30	15,85	17,60	11,25	12,75	11,50	12,27	11,50
9,21	10,79	11,11	12,31	16,80	16,20	10,36	6,86	12,90	8,64+(N+ )/10
14,90	16,00	12,00	12,31	9,35	16,60	15,67	15,33	8,69+ /10	12,07

 

Пример вычисления для студента с параметрами =0, =0.

Решение.

11,70	12,90	10,32	9,50	5,91	11,56	10,81	9,32	13,00	12,90
7,35	11,80	17,00	14,10	9,74	9,76	6,96	15,05	14,67	9,73
11,35	10,51	15,95	12,41	13,56	6,68	13,75	16,95	8,81	10,60
13,90	9,03	7,39	13,85	11,99	6,23	12,56	12,03	12,97	15,95
11,00	7,76	10,48	12,80	12,05	12,33	5,60	8,80	9,85	10,11
9,75	13,70	12,09	13,40	9,02	6,67	12,37	11,67	12,00	13,60
15,21	9,70	13,70	16,10	13,60	14,40	14,75	8,06	13,01	10,70
13,57	15,30	12,30	15,85	17,60	11,25	12,75	11,50	12,27	11,50
9,21	10,79	11,11	12,31	16,80	16,20	10,36	6,86	12,90	8,64
14,90	16,00	12,00	12,31	9,35	16,60	15,67	15,33	8,69	12,07

Для удобства расположим варианты в порядке возрастания.

5,60	8,06	9,50	10,48	11,50	12,05	12,56	13,56	14,40	15,95
5,91	8,64	9,70	10,51	11,50	12,07	12,75	13,57	14,67	15,95
6,23	8,69	9,73	10,60	11,56	12,09	12,80	13,60	14,75	16,00
6,67	8,80	9,74	10,70	11,67	12,27	12,90	13,60	14,90	16,10
6,68	8,81	9,75	10,79	11,70	12,30	12,90	13,70	15,05	16,20
6,86	9,02	9,76	10,81	11,80	12,31	12,90	13,70	15,21	16,60
6,96	9,03	9,85	11,00	11,99	12,31	12,97	13,75	15,30	16,80
7,35	9,21	10,11	11,11	12,00	12,33	13,00	13,85	15,33	16,95
7,39	9,32	10,32	11,25	12,00	12,37	13,01	13,90	15,67	17,00
7,76	9,35	10,36	11,35	12,03	12,41	13,40	14,10	15,85	17,60

1) находим размах выборки:

,

2) определяем число классов разбиения по формуле Стерджесса:

,

3) находим величину классового интервала:

,

4) границы и середины частичных интервалов находим по формулам:

,

,

и так далее,

,

и так далее.

5) подсчитываем частоты попадания вариант в каждый интервал:

 

Границы интервалов	Середина интервала	Эмпирическая частота
4,815	6,385	5,600
6,385	7,956	7,171
7,956	9,527	8,741
9,527	11,097	10,312
11,097	12,668	11,883
12,668	14,239	13,453
14,239	15,809	15,024
15,809	17,380	16,595
17,380	18,951	18,165

 

Эмпирический интервальный ряд составлен, найдём среднее значение и СКО:

, .

Теперь найдём теоретические частоты, предполагая нормальное распределение совокупности:

Границы интервалов			Границы интервалов			- -
4,815	6,385	-	-5,497		-1,921	-0,5	-0,4726	0,0274	2,74
6,385	7,956	-5,497	-3,927	-1,921	-1,372	-0,4726	-0,4147	0,0579	5,79
7,956	9,527	-3,927	-2,356	-1,372	-0,823	-0,4147	-0,2939	0,1208	12,08
9,527	11,097	-2,356	-0,785	-0,823	-0,274	-0,2939	-0,1064	0,1875	18,75
11,097	12,668	-0,785	0,785	-0,274	0,274	-0,1064	0,1064	0,2128	21,28
12,668	14,239	0,785	2,356	0,274	0,823	0,1064	0,2939	0,1875	18,75
14,239	15,809	2,356	3,923	0,823	1,372	0,2939	0,4147	0,1208	12,08
15,809	17,380	3,923	5,497	1,372	1,921	0,4147	0,4726	0,0579	5,79
17,380	18,951	5,497	-	1,921		0,4726	0,5	0,0274	2,74

Найдём наблюдаемые значения и .

 

	2,74	0,03	0,0274	0,03	0,0274	0,0026	0,0247
	5,79	0,07	0,0579	0,10	0,0853	0,0147	0,2529
	12,08	0,11	0,1208	0,21	0,2061	0,0039	0,0966
	18,75	0,16	0,1875	0,37	0,3936	0,0236	0,4033
	21,28	0,24	0,2128	0,61	0,6064	0,0036	0,3477
	18,75	0,19	0,1875	0,80	0,7939	0,0061	0,0033
	12,08	0,09	0,1208	0,89	0,9147	0,0247	0,7853
	5,79	0,10	0,0579	0,99	0,9726	0,0174	3,0612
	2,74	0,01	0,0274	1,00	1,00		1,1050
	= =0,0247 =0,247	= =6,080

 

Критические значения находим в соответствующих таблицах:

= , так как 6,08< , то принимается гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности, аналогично

, так как < , то гипотеза о нормальном законе распределения подтверждается и критерием Колмогорова.

Доказали, что совокупность распределена нормально, найдём оценки генеральных параметров этой совокупности.

 

-6,283	118,428	-744,083	4675,073
-4,712	155,421	-732,344	3450,805
-3,142	108,59	-341,19	1072,019
-1,571	39,489	-62,037	97,46
1,57	46,833	73,528	115,439
3,141	88,793	278,899	876,022
4,172	222,029	1046,201	4929,699
6,282	39,476	247,988	1557,861
	8,19	-2,33	167,744

 

11,883	8,274	2,876	-0,0979	-0,548	12,064	11,948

 

Найдём доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии .

Рис.:

, где ,

,

Найдём доверительный интервал для дисперсии при неизвестном .

, где , ,

,

,

.