Определение модуля и направления кориолисова ускорения

 

(24)

 

Известно, что модуль векторного произведения двух векторов равен

 

(25)

Если то

(26)

 

Для определения направления вектора кориолисоваускорения надоспроектировать вектор относительной скорости точки на плоскость,перпендикулярную вектору (оси переносного вращения), и полученную проекциюповернуть в сторону этого вращения на .Полученное таким образомнаправление совпадает с направлением вектора (рис. 2, 3 и 4).Если точка движется в плоскости, перпендикулярной оси переносного вращения (вектору , то и формула (26) становится такой

(27)

Рис. 3. К определению направления вектор кориолисоваускорения при движении точки в пространстве

 

Кориолисово ускорение обращается в нуль, если:

1. - переносное движение поступательно или когда в данный момент

2. - относительная скорость в данный момент равна нулю.

3. Когда или , то есть когда вектор параллелен вектору .

А теперь рассмотрим фазы движения материальной точки вдоль горизонтально вращающегося стержня и покажем, что при совпадении вектров и кориолисово ускорение выполняет функции ускорения, а когда эти векторы противоположны, то оно выполняет функции замедления (рис. 4). Вариации возможных сочетаний направления вектров переносной и относительной скоростей материальной точки, движущейся вдоль вращающегося стержня, представлены на рис. 4.

 

Рис. 4. Примеры определения направления векторов и для точки

 

 

Абсолютное ускорение точки в сложном движении в общем случае определяется геометрической суммой пяти слагаемых

 

Для определения величины абсолютного ускорения удобнее пользоваться аналитическим методом сложения векторов:

 

 

 

Ускорение кориолиса

 

Ускорение Кориолиса можно получить, спроецировав вектор относительной скорости точки на плоскость, перпендикулярную вектору переносной угловой скорости , увеличив полученную проекцию в раз и повернув её на 90 градусов в направлении переносного вращения.

Способы вычисления ускорения Кориолиса:

1. По правилу векторного произведения (рис. 3)

 

.

 

 

Теорема_кориолиса

Пусть точка совершает сложное движение: движется относительно неинерциальной системы отсчёта со скоростью ; система при этом сама движется относительно инерциальной системы координат , причём линейная скорость движущегося вместе с ней полюса равна , а угловая скорость системы равна .

Тогда абсолютная скорость рассматриваемой точки (то есть её линейная скорость в инерциальной системе координат) будет такой:

, причём ,

где — радиус-вектор точки относительно полюса . Первые два слагаемых в правой части равенства представляют собойпереносную скорость точки, а последнее — её относительную скорость.

Продифференцируем это равенство по времени:

Найдём значение каждого слагаемого в инерциальной системе координат:

где — линейное ускорение точки относительно системы , — угловое ускорение системы .

Таким образом, имеем:

Полученное равенство служит математическим выражением теоремыКориолиса: Абсолютное ускорение точки в сложном движении равно геометрической сумме её переносного ускорения (сумма первых трёх слагаемых в правой части), относительного ускорения (четвёртое слагаемое) и добавочного кориолисова ускорения (последнее слагаемое), равного .

Используя обозначения и , получим запись теоремы Кориолиса в более сжатом виде:

Причиной возникновения кориолисова ускорения является взаимное влияние друг на друга переносного и относительного движений.

Сам Кориолис выражал в 1835 г. свои результаты в иной форме, вводя в рассмотрение переносную и кориолисову силы инерции; общепринятая же ныне чисто кинематическая формулировка теоремы Кориолиса предложена в 1862 г. Анри ЭмеРезалем^[12].

Заметим, что если система также является неинерциальной и движется относительно другой системы, а та другая относительно следующей и т. д., то величины , для системы в последнем уравнении следует считать полными — то есть как сумму собственных ускорений (скоростей) всех систем координат (каждой относительно предыдущей), начиная с первой подвижной системы, а — абсолютным ускорением поступательного движения относительно неподвижной инерциальной системы координат.

Заметим также, что в частности, чтобы точка относительно неинерциальной системы отсчёта двигалась прямолинейно по радиусу к оси вращения (см. рис.), необходимо приложить к ней силу, которая будет противодействующей суммы Кориолисовойсилы , переносной вращательной силы и переносной силы инерции поступательного движения системы отсчёта . Составляющая же ускорения не отклонит тело от этой прямой, так как являетсяосестремительным переносным ускорением и всегда направлена по этой прямой. Действительно, если рассматривать уравнение такого движения, то после компенсации в нём вышеупомянутых сил получится уравнение , которое если умножить векторно на , то с учетом получим относительно дифференциальное уравнение , имеющее при любых и общим решением , которое и является уравнением такой прямой — .