Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона

Неравенство, предложенное Шредингером и Робертсоном, отражает в себе свойства, присущие как неравенству Коши- Буняковского, так и соотношению неопределенностей Гейзенберга и, в известном смысле, может считаться их обобщением [35,36].

Пусть и - две произвольные наблюдаемые. Без ограничения общности будем считать их центрированными: .

Рассмотрим следующее заведомо неотрицательное выражение:

Здесь - произвольное действительное число, - тоже действительное, но фиксированное число (фаза, выбор которой мы осуществим позднее).

Определим ковариацию величин как

Заметим, что симметризация произведения наблюдаемых потребовалась нам, чтобы сделать соответствующий оператор эрмитовым.

Пусть:

,

где - эрмитов оператор. Тогда:

В развернутой записи выражение для имеет вид:

Пусть:

,

Очевидно, можно найти такой угол , чтобы выполнялись тождества:

Тогда:

Распорядимся произволом в выборе фазы , чтобы обеспечить выполнение равенства . Указанный выбор, очевидно, обеспечит получение наиболее сильного неравенства:

Определим коэффициент корреляции между наблюдаемыми и как:

В результате, искомое неравенство (соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона) примет вид:

,

где

Введенный параметр есть аналог известного числа Шмидта [37]. Это число имеет фундаментальное значение для описания квантовых корреляций и квантовой информации (см. Приложение к Главе 3).

Пусть теперь рассматриваемые наблюдаемые есть операторы координаты и импульса соответственно:

, .

Тогда, в силу фундаментального перестановочного соотношения для координаты и импульса, есть тождественный оператор (единичная матрица).

В этом случае соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона будет иметь вид:

Пусть , - неопределенности (стандартные отклонения) для координаты и импульса. Тогда:

Таким образом, если координата и импульс коррелируют друг с другом, произведение их неопределенностей возрастает в раз по сравнению с величиной, определяемой неравенством Гейзенберга.

Заметим, что в силу некоммутативности координаты и импульса, их квантовая ковариация не может быть оценена по выборке подобно классической ковариации. Для вычисления соответствующей оценки нужно знать априори (или оценить по результатам взаимно- дополнительных измерений) вектор состояния (волновую функцию). Пусть:

,

где действительные функции и есть соответственно плотность и фаза пси- функции. Заметим, что фаза есть аналог классического действия механической системы.

Используя функции плотности и фазы, нетрудно получить следующее простое представление для ковариации координаты и импульса:

Наглядность полученного результата обусловлена тем, что в классической механике производная от функции действия есть импульс.