Многомерное неравенство Рао- Крамера и корневая оценка

Неравенство Рао- Крамера, также как и соотношение неопределенностей, может быть обобщено на многомерный случай.

Можно показать, что для любой несмещенной оценки неизвестного многомерного параметра матрица является неотрицательно определенной:

В случае оценок, близких к эффективным, соответствующая разность близка к нулю. Примером таких оценок могут служить оценки максимального правдоподобия, которые обладают свойством асимптотической эффективности [38- 40].

Здесь - матрица ковариации оценки . Элементы матрицы информации Фишера могут быть представлены в виде:

(2.3)

С точки зрения квантовой информатики принципиально важно, что выражение для информационной матрицы Фишера радикально упрощается, если ввести пси – функцию (здесь для простоты мы считаем ее действительной) [41,42].

Для задач статистики фундаментальное значение имеет матрица, обратная к матрице информации Фишера. В силу сложности выражения (2.3) для многопараметрической матрицы информации Фишера, получаемые на его основе оценки обратной матрицы, как правило, являются плохо обусловленными. Единственным известным исключением является так называемая корневая оценка, основанная на введении пси – функции.

Приведем кратко соответствующие результаты. Более подробное изложение можно найти в [41,42].

Пусть разложение пси- функции по набору ортонормированных базисных функций имеет вид:

(2.4)

Здесь мы исключили из числа оцениваемых параметров коэффициент , так как, согласно условию нормировки, он рассчитывается через другие коэффициенты.

Величины являются независимыми оцениваемыми параметрами.

В случае корневого разложения (2.4) информационная матрица имеет порядок и выражается в следующем простом виде:

,

где

Замечательной особенностью полученного выражения является его независимость от выбора базисных функций. Оказывается, что этим свойством обладает только корневая оценка плотности.

Матрица ковариаций оценки вектора состояния , в случае оценок, близких к эффективным, есть приближенно матрица, обратная к матрице информации Фишера:

Компоненты этой матрицы есть:

(2.5)

Полученную матрицу ковариаций можно расширить, добавив в нее ковариации компоненты вектора состояния с остальными компонентами. Оказывается, что общая матрица ковариаций будет иметь тот же самый вид, что и (2.5), но теперь .

Таким образом, модель статистики, основанная на введении пси- функции, корневом разложении и методах квантовой информатики, является выделенной по отношению к любым другим мыслимым моделям. Её преимущества обусловлены простотой, универсальностью и хорошими вычислительными свойствами. Выражаясь в духе Дирака, можно сказать, что «Природа просто не могла не воспользоваться столь красивой математической моделью».

Эффективность корневого подхода в задачах восстановления квантовых состояний была подтверждена в работах [43-47]. Была показана возможность экспериментального восстановления оптических квантовых состояний так называемого бифотонного поля с высокой точностью, которая значительно превосходит уровень других известных экспериментов.

Опыт квантовой физики показывает, что при описании поведения микрообъектов целесообразно отказаться от явно ограниченных представлений, сводящих квантовые системы к механическим частицам, волнам и т.п. Вместо механистических картин явлений следует использовать статистическое описание квантовых состояний, которое оказывается наиболее естественным и полным. При этом, само статистическое описание не должно ассоциироваться с механистическими моделями, основанными на случайном механическом выборе объектов, бросании монеты, игральной кости и т.п. Выше мы пытались показать, что наиболее фундаментальные представления о вероятности никак не связаны с такими механическими моделями и аналогиями. Статистическая модель, в основе которой лежит вектор состояния в гильбертовом пространстве и есть наиболее общая и универсальная модель теории вероятностей.