Вероятностные сетевые модели.

Выше рассматривались постановки задач календарного планирования, не учитывающие вероятностный характер процесса проектирования. Однако во многих случаях при планировании и управлении созданием нового проекта продолжительность работ сетевого графика является случайной величиной, подчиненной некоторому закону распределения. Что касается параметров распределения, то последние задаются для каждой работы их ответственными исполнителями на основе либо нормативных данных, либо априорных соображений, либо своего производственного опыта.

В первых сетевых моделях (РЕRT) для каждой работы задавались три оценки продолжительности выполнения:

- наиболее вероятное время выполнение m;

- оптимистическая оценка времени a;

- пессимистическая оценка времени b.

Наиболее вероятное время определяется как время выполнения работы при нормальных условиях. Оптимистическая и пессимистическая оценки задают размах колебаний продолжительности работы под влиянием неопределенности.

Вероятностная сетевая модель типа РЕRT предполагает, что продолжительность любой работы t есть случайная величина, распределенная по закону бета-распределения на отрезке [а,b] с плотностью

j(t)= C(t – a)^p-1(b – t)^q-1.

Ожидаемая продолжительность работы приближенно определяется как m=(а+4m+b)/6. Среднеквадратическое отклонение от среднего значения

s =(b – a)/6.

Вероятностные методы, применяемые в системе PERT.

В системе РЕRT с помощью заданных пользователем трех оценок продолжительности всех работ по вышеприведенным формулам вычисляется средняя продолжительность m и ее дисперсия s². Рассматривая среднее значение как фактическую (детерминированную) продолжительность работы, определяют все временные характеристики сети (и критический путь). При этом продолжительность всего проекта определяется как случайная величина, математическое ожидание которой есть сумма средних продолжительностей работ, находящихся на критическом пути, а дисперсия, аналогично, равна сумме всех дисперсий, при допущении, что продолжительности всех работ независимы.

В более общем случае ожидаемое время Mt(i)=M(i) свершения любого i–го события определяется как сумма математических ожиданий времени выполнения работ, лежащих на максимальном пути L между исходным (0) и i–м событиями:

M(i)=åⁿ_n=1Mt(i_n-1,i_n),

если L=0®i₁®i₂®…®i_n= i и Mt(L) ³ Mt(L¢), где L¢ любой другой путь между 0 и i–м событиями. Аналогично определяется и дисперсия времени свершения i–м события:

D(i)= s²(i) =Dt(L)=åⁿ_n=1Dt(i_n-1,i_n).

Предполагая выполненными условия центральной предельной теоремы, закон распределения времени окончания проекта (в общем случае, любого события i), считают близким к нормальному, вследствие чего используют интегральную формулу Муавра-Лапласа. Таким образом, оценка p_i вероятности свершения i–го события в запланированный срок t_пл(i) вычисляется по формуле:

P{t(i) £ t_пл(i)}=(1/2){Ф[(t_пл(i) – M(i)) / s(i)]+1},

где Ф – функция Лапласа (таблица ее значений приведена во всех справочниках по теории вероятности).

Вероятность отсутствия резерва времени для момента окончания работы (i,j) оценивают по формуле:

P₁(j)=1 – Ф[(Т¹(j) – Т⁰(j))/ s(j)].

Двухоценочная методика.

После анализа большого количества сетевых проектов был построен закон распределения продолжительности выполнения работ с плотностью, зависящей лишь от двух параметров [4]:

p(x)=[12/(b – a)⁴](x – a)(b – x)².

Это распределение относится к классу бета-распределений и имеет следующие параметры:

- математическое ожидание М(х)=(3а+2b)/5; (9)

- моду m=(2a+b)/3;

- дисперсию D(х)= s²(х)=0.04(b – а)².

Методика оценки параметров распределения на основании двух задаваемых временных оценок отличается рядом преимуществ по сравнению с трехоценочной методикой системы PERT, прежде всего, за счет уменьшения объема информации, который требуется от исполнителя работы. Эту методику можно с одинаковым успехом применять как при расчете детерминированных (или близких к ним) сетей, так и при моделировании стохастических сетевых проектов.

Рассмотренные нами вероятностные модели и методы определения их временных характеристик использовались большей частью для временного анализа сети и иногда для решения оптимизационных задач типа «время-стоимость».

Основные результаты, получаемые в процессе моделирования вероятностных сетей, следующие:

· получение с определенным уровнем доверительности минимального и максимального времени выполнения проекта;

· получение также с некоторым уровнем уверенности минимального и максимального времени свершения наиболее важных событий;

· оценка вероятности попадания некоторого события на критический путь;

· оценка вероятности попадания работы на критический путь;

· выделение с некоторым уровнем доверительности критического и резервного подграфов.