Базис на плоскости. Координаты вектора в данном базисе. Теорема о разложении вектора в данном базисе. Базис в пространстве.

Базисом на плоскости называется упорядоченная пара линейно независимых (т.е. неколлинеарных) векторов. Упорядоченная пара векторов означает, что указано, какой из этих векторов является первым, а какой вторым.

Любой вектор на плоскости может быть представлен как линейная комбинация базисных векторов и притом в единственном числе.

Выражение называется разложением вектора по базису . Докажем что это выражение единственное (методом от противного)

Согласно 2 определению линейной зависимости вектор линейно зависисмы т.е. колинеарны, а это невозможно т.к. они базисные, следовательно предположение о втором разложении не верно.

Замечание: коэффициенты называют координатами вектора в данном базисе.

Базисом в пространстве называется упорядоченная тройка линейно независимых (т.е. некомпланарных) векторов.

Каждый вектор может быть представлен как линейная комбинация базисных векторов и притом единственным образом.

Это размножение так же единственно, доказывается аналогично R²

Например, . Здесь , , − базисные векторы. Коэффициенты , , разложения вектора по базисным векторам называются координатами вектора в этом базисе.

В трехмерном пространстве широко применяется декартова (прямоугольная) система координат Oxyz с базисными векторами , , . Эти векторы ортогональны (т.е. взаимно перпендикулярны) и нормированы (т.е. имеют длину равную 1). Базис , , поэтому называется ортонормированным. Любой вектор в декартовой системе координат может быть единственным образом представлен в виде .

Особенность декартовой системы координат в том, что коэффициенты этого разложения , , (т.е. координаты вектора) являются проекциями вектора на соответствующие оси Ox, Oy и Oz.

5.. Проекция вектора на ось, свойства. Прямоугольная система координат (…).

Проекцией вектора АВ длина отрезка А₁В₁взятая со знаком + если направление вектора А₁В₁совпадает с направление оси и с – если нет.

Длина (модуль) вектора определяется по формуле:

.

Направление вектора задается углами α, β, γ, образованными ими с координатными осями Ox, Oy и Oz. Косинусы этих углов (они называются направляющими косинусами вектора) определяются по формулам:

, , .

Направляющие косинусы связаны соотношением

.

Если векторы и коллинеарные и сонаправленные, то их направляющие косинусы равны:

, , .

Откуда, введя обозначение , получим условия коллинеарности векторов и :

.

Заметим, что если векторы и противоположно направлены, то в равенстве следует перед поставить знак минус.

Если вектор задается направленным отрезком , причем и , то координаты вектора равны разности соответствующих координат точек конца и начала вектора

, , ,

при этом длина вектора определяется следующим образом

.

При сложении векторов в прямоугольной системе координат их координаты складываются

.

При умножении вектора на число координаты получаемого вектора умножаются на это число

.