Уравнение плоскости, проходящие через три заданные точки. Уравнение плоскости в отрезках.

В декартовой системе координат в пространстве каждая плоскость определяется уравнением первой степени (линейным уравнением) и каждое уравнение первой степени определяет плоскость.

Всякий не равный нулю вектор, перпендикулярный данной плоскости, называется нормальным вектором этой плоскости.

Уравнение определяет плоскость, проходящую через точку , перпендикулярно вектору . Если раскрыть скобки в этом уравнении и ввести обозначение , то получится общее уравнение плоскости . Коэффициенты А, В, С при неизвестных в общем уравнении плоскости − это координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости.

Рассмотрим частные случаи расположения плоскостей.

1. Коэффициент и уравнение плоскости имеет вид . Очевидным решением такого уравнения является нулевое решение (, , ). Значит, это уравнение определяет плоскость, проходящую через начало координат .

2. Коэффициент и уравнение плоскости имеет вид . Так как проекция нормального вектора на ось Ох равна 0, то это возможно, если плоскость параллельна оси Ох.

Аналогично, если коэффициент и уравнение плоскости имеет вид , то эта плоскость параллельна оси Оy. Если уравнение имеет вид , т.е. коэффициент при равен 0, то это уравнение плоскости, параллельной оси Оz. Вывод: отсутствие в уравнении какой-либо переменной свидетельствует о том, что эта плоскость параллельна оси, соответствующей этой переменной.

3. Коэффициенты , и уравнение имеет вид . Плоскость параллельна осям Ох и Оy и, следовательно, параллельна плоскости Охy.

4. Коэффициенты , , и уравнение имеет вид . Плоскость параллельна плоскости Охy (так как , ). Кроме того, она проходит через точку (так как ). Значит уравнение (или ) определяет саму плоскость Охy.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , и имеет вид:

.

Составим уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , и :

.

Раскрыв определитель и выполнив преобразования, получим уравнение плоскости в отрезках

.

Здесь a, b, c − отрезки, отсекаемых плоскостью от координатных осей.

 

Угол между двумя плоскостями, условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Углом между плоскостями – называется любой из двугранных углов между этими плоскостями.

Угол между плоскостями и − это угол между их нормальными векторами и . Поэтому он может быть вычислен с помощью скалярного произведения векторов по формуле

.

Очевидно, если две плоскости параллельны, то их нормальные векторы коллинеарные. Отсюда вытекает условие параллельности плоскостей:

.

Аналогично, условие перпендикулярности плоскостей − это равенство нулю скалярного произведения их нормальных векторов:

.

 

Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле:

.