Используя теорему о пределе частного двух функций, получаем равенство (1).

Применение производных к исследованию функций.

Функция называется возрастающей в промежутке , если для любых двух значений аргумента, принадлежащих этому промежутку, большему из них соответствует и большее значение функции.

Таким образом, если то

(5.1)

Аналогично функция называется убывающей в промежутке , если для двух любых значений аргумента, принадлежащих этому промежутку, большему из них соответствует меньшее значение функции.

Если то

(5.2).

Аналогичное определение дается возрастанию или убыванию функции на отрезке .

Из этих определений вытекает, что для возрастающей функции прира­щение функции и приращение аргумента имеют один и тот же знак, в силу чего их отношение положительно: (5.1*)

Для убывающей функции эти приращения имеют противоположные зна­ки, в силу чего (5.2*)

Если функция на данном отрезке (или в данном промежутке) переходит от возрастания к убыванию или наоборот (один или несколько раз), то ее называют колеблющейся на данном отрезке (в данном промежут­ке).

Те значения аргумента, при которых функция достигает своих наиболь­ших или наименьших, по сравнению с соседними, значений, называются точками максимума и минимума.

Определение. Точка называ­ется точкой максимума функции , а значение называется максимумом этой функции, если существует некото­рая окрестность точки [т. е. проме­жуток ], такая, что зна­чение функции в любой точке этой ок­рестности будет меньше, чем ее значение в самой точке , т. е. меньше, чем максимум : при (5.3)

Аналогично (с заменой слова «меньше» на «больше») определяются точка минимума и минимум функции. Если — точка минимума, a мини­мум, то имеют место следующие неравенства: при (5.4)

Точки минимума и максимума объединяются под общим названием точек экстремума, а минимум и максимум функции объединяются общим названием экстремум функции.

Экстремумы функции , опреде­ленные выше с помощью неравенств (5.3) и (5.4), часто называются стро­гими экстремумами, в отличие от нестро­гих, где предполагаются неравенства вида и соответственно .

Исследование функции на возрастание – убывание..

Теорема (достаточное условие возрастания функции). Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка X, то она возрастает на этом промежутке.

Теорема (достаточное условие убывания функции). Если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка X, то она убывает на этом промежутке.

Для отыскания наибольшего и наименьшего значений на отрезке пользуются следующей схемой:

1. Находят производную .

2. Находят критические точки функции, в которых или не существует.

3. Находят значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбирают из них наибольшее f_наиб и наименьшее f_наим.