Зависимые и независимые, совместные и несовместные события.

Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А зависит от того, произошло событие В или нет.

Событие A называют независимым от события B, если появление события B не изменяет вероятности появления события A.

Если появление одного события исключает появление другого, то они называются несовместными; в противном случае два события называются совместными.

Формула сложения вероятностей для любых двух событий.

Теорема 1: Если события несовместны, то вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий.

Р(А + В) = Р(А) + Р(В). (2.7)

Доказательство:

N – число всех исходов испытаний.

m₁ – число исходов испытаний, благоприятствующих наступлению события А.

m₂ – число испытаний, благоприятствующих наступлению события В.

Р(А + В) = = + = Р(А) + Р(В). Что и требовалось доказать.

Следствие из теоремы:

Вероятность суммы нескольких несовместных событий равна сумме вероятности этих событий.

Р(А₁ + А₂ + … + А_n) = Р(А₁) + Р(А₂) + … + Р(А_n)

Теорема 2: Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.

Доказательство:

Пусть А₁,А₂, …, А_n – полная группа событий. Тогда наступление одного из этих событий – событие достоверное, т.е. Р(А₁ + А₂ + … +А_n) = 1. Но по теореме сложения несовместных событий можно записать:

Р(А₁) + Р(А₂) + … Р(А) = 1.

Следствие из теоремы:

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. Р(А) + Р(Ā) = 1.

Теорема 3: Если события совместны, то вероятность их суммы вычисляется по формуле:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А×В)

Доказательство:

m₁ – число исходов испытаний, благоприятствующих наступлению события А.

m₂ – число исходов испытаний, благоприятствующих наступлению события В.

m₃ – число исходов испытаний, благоприятствующих наступлению совместных событий А×В.

N – число всех исходов испытаний.

Р(А + В) = = = Р(А) + Р(В) – Р(А×В).Что и требовалось доказать.

Формулы умножения вероятностей для любых событий.

Теорема умножения: Вероятность произведения событий равна вероятности одного из этих событий, умноженной на условную вероятность другого при условии, что первое событие уже произошло.

Р(А × В) = Р(А) × Р_A(В).

Доказательство:

N – число всех исходов испытания.

M – число исходов, благоприятствующих наступлению события А.

К – число исходов, благоприятствующих наступлению события В, при условии, что А имело место, т.е. к – число исходов, когда А и В наступили вместе.

Поэтому Р(А × В) = = = = P(A) × PA(B).

Теорема умножения вероятностей обобщается на случай произвольного числа событий:

Р(АВСD) = Р(А)· Р_A(В) ·Р_AB(С) · Р_ABC(D), т.е. вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности других; при этом условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли.

Следствия.

Если события независимы, то вероятность события В, при условии, что А наступило.

Р_A(В) = Р(В).

Р_A(А) = P(A).