Развертывая выражение m-й степени разности под знаком интеграла, получим сумму табличных интегралов.

Интеграл от четной положительной степени синуса и косинуса.

Применяя в обоих случаях почленное интегрирование, получим конеч­ное число интегралов от четных и от нечетных степеней cos2x. В случае четной степени, снова воспользуемся формулой тригонометрии (формулой удвоения аргумента), а в случае нечетной степени применим прием 1). Через конечное число шагов придем к сумме табличных интегралов.

3) Интеграл от произведения целых положительных степеней синуса я косинуса. Приемы интегрирования целой положительной степени синуса и коси­нуса, изложенные в пунктах 1) и 2), достаточны для интегрирования произ­ведений таких степеней, как это следует из приводимых ниже примеров.

Интеграл от нечетной положительной степени секанса и косеканса.

Значит

Получена рекуррентная формула. Последовательно применяя эту фор­мулу, получим выражение через , — через и т. д.; наконец, — через . Используя теперь полученные нами выражения в обратном порядке, найдем .

Интеграл от четной положительной степени секанса и косеканса.

..

Развернув (k— 1)-ю степень двучлена l + tg²x, придем к сумме табличных интегралов.

Универсальная тригонометрическая подстановка.

1. Общий случай. Пусть требуется вычислить интеграл вида , подинтегральная функция которого является рациональной функцией от sin х и cos х. Применим подстановку .(7.17)

Тогда х = 2 arctg t, dx = ; sin x = 2 sin cos =

;'следовательно,

, где r{t) – рациональная функция аргумента t. Таким образом, с помощью подстановки (7.17) всякий интеграл вида преобразуется в интеграл от рациональной функции, т. е. вычисляется в элементарных функциях.

Интегрирование некоторых иррациональностей.

1. Вычисление интегралов вида , где R —символ рациональной зависимости. Подинтегральная функция здесь является рациональной функцией от аргумента х и нескольких дроб­ных степеней одной и той же дробно-линейной функции этого аргумента х. Применим подстановку: , (7.21) где В — общее наименьшее кратное чисел .

Покажем, что эта подстановка приводит все подинтегральное выраже­ние к рациональному виду.

Из равенства (7.21) х выражается рационально через t; обозначим его так: . Тогда , где r'(t) есть рациональная функция t, как производная от рациональной функции r(t).

Далее

, где — целое число, поскольку В делится без остатка на каждое из чисел . Имеем

Где есть рациональная функция аргумента t.

2. Вычисление интегралов от рациональной функции аргумента х и квадратного радикала из квадратного двучлена:

.

Вычисление таких интегралов производится с помощью соответствую­щей тригонометрических подстановок;

1) (17.22) в случае интеграла ;

2) (17.23) в случае интеграла

3) (17.24) в случае интеграла ..

Во всех трех случаях подрадикальное выражение превращается в точ­ный квадрат, радикал исчезает, а интеграл получает вид .

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.