Некоторые следствия из аксиом

Теорема 1. Через прямую a и не лежащую на ней точку А проходит плоскость, и притом только одна.
Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна.

 

Билет 2.1

Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число b, квадрат которого равен а:

√а = b (при a ≥ 0, b ≥ 0, b² = a).

Пример:
√9 = 3 (9 ≥ 0, 3 ≥ 0, 3² = 9)

При а < 0 выражение √ a не имеет смысла.

Пример:
√-25 – невозможно извлечь корень: 5² = 25 и -5² = 25 (а не -25)

 

При любом а, при котором выражение √ a имеет смысл, верно равенство (√ a)² = | а |.

Пример:
(√25)² = 5² = 25

√-5² = √25 = 5

 

Свойства арифметического квадратного корня:

3.(√a)ⁿ = √aⁿ (приa ≥ 0)

Например:
(√16)³ = √16³ = √4096 = 64
√16³ = (√16)³ = 4³ = 64

 

Арифметические корниn-й степени.

⁴√81 = 3 (так как 3⁴ = 81)

Читается так: корень четвертой степени из 81 равен 3.

Преобразование выражений с квадратными корнями.

 

2.2

Прямая параллельная плоскости.

Прямая параллельна плоскости, когда она параллельна прямой, лежащей в этой плоскости.
Если требуется провести прямую параллельно данной плоскости, то сначала надо провести в плоскости какую-либо прямую, а затем провести прямую, ей параллельную, которая будет параллельна данной плоскости.
В плоскости можно провести неограниченное число прямых линий, следовательно, можно провести неограниченное количество и прямых, параллельных плоскости.

Определение: прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой, принадлежащей данной плоскости.

Определение 2.3.

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Если прямая a параллельна плоскости α, то пишут a || α.

Теорема 2.4. Признак параллельности прямой и плоскости.

Если прямая вне плоскости параллельна какой-нибудь прямой на плоскости, то эта прямая параллельна и самой плоскости.

Теорема 2.5. Теорема о следе.

Если плоскость β проходит через прямую a, параллельную плоскости α, и пересекает эту плоскость по прямой b, то b || a.

Определение 2.4.

Прямую b иногда называют следом плоскости β на плоскости α.

Билет 3.1

Арифметическим корнем n-й степени из числа а называют неотрицательное число, n-я

степень которого равна а.

Обозначается арифметический корень n-й степени из числа а

,

где n- показатель корня,

а- подкоренное выражение.

Знак называют еще радикалом.

Арифметический корень второй степени называется корнем квадратным и обозначается √,

арифметический корень третьей степени называется кубическим корнем о обозначается

Например:

а) и 2≥0;

б) и 3≥0;

в)

Из определения арифметического корня n-й степени следует, что при четом n подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю, а значит и значение такого корня тоже неотрицательно, например:

арифметический корень 4-й степени из числа -81 не существует, так как ни одно число в четвертой степени не даст -81 (при возведении в четную степень значение выражения всегда неотрицательно).

При нечетном показателе корня подкоренное выражение может быть отрицательным, и тогда минус может быть вынесен за знак коня.

Например:

 

Уравнение хⁿ=а.

Уравнение хⁿ=а при нечетном n имеет единственное решение х= .

Например: х³=-125;

х= ;

х=- ;

х=-5.

Для наглядности сделаем проверку:

(-5)³=-125;

-125=-125- верно.

Ответ: х=-5.

Уравнение хⁿ=а при четном n имеет и положительном а имеет два корня

х=± .

Например:

х⁴=16;

х₁= ; х₂=- ;

х₁=2; х₂=-2.

Можно убедиться при проверке, что 2⁴=16 и (-2)⁴=16.

Ответ: ±2.

Иногда нужно применить такое свойство арифметического корня n-й степени:

|х|, если n четно;

х, если n нечетно.

х, если х≥0;

Вспомним, что |х|= -х, если х<0.

Например:

.

Так как <0, следовательно

.

Для арифметического корня n-й степени, как и для квадратного корня, существуют операции внесения множителя под знак корня и вынесение множителя из-под знака корня.

Например:

2 .

Из примера видно, что для внесения множителя под знак корня n-й степени его нужно

возвести в n-ю степень. Нужно помнить, что под знак с четным показателем мы имеем право внести только положительный множитель, например:

Аналогично производится вынесение множителя из-под знака корня, например:

а)

б)

в)

 

3.2

 

 

 

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

	a || b (прямая а параллельна прямой b) прямая с и прямая а не параллельны прямая с и прямая b не параллельны
рис. 8

Теорема о параллельных прямых. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

	M a b||а и М b (b - единственная)
рис. 9

Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

	отрезок СD || отрезку АВ
рис. 10
Свойства параллельных прямых Свойство 1. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость. рис. 11 Свойство 2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. рис. 12 Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.