Определение возрастающей функции.

Функция y = f(x) возрастает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение убывающей функции.

Функция y = f(x) убывает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

 

14.2

Площадь боковой поверхности произвольной призмы , где — периметр перпендикулярного сечения, — длина бокового ребра.

Площадь боковой поверхности правильной призмы , где — периметр основания призмы,, — высота призмы

Билет 15.1

Вектор - это направленный отрезок.

Суммой векторов − a (a 1; a 2) и − b (b 1; b 2) называется вектор − c a 1+ b 1; a 2+ b 2 ,
т.е. − a a 1; a 2 +− b b 1; b 2 =− c a 1+ b 1; a 2+ b 2 .

Определение 1. Величина, полностью характеризуемая своим числовым значением в выбранной системе единиц, называется скалярной или скаляром.

(Масса тела, объем, время и т.д.)

Определение 2. Величина, характеризуемая числовым значением и направлением, называется векторной или вектором.

 

1) Сложение векторов.

Опр. 6. Суммой двух векторов и является диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, исходящая из общей точки их приложения(правило параллелограмма).

Свойства сложения.

1^о. + = + (переместительный закон).

2^о. + ( + ) = ( + ) + = ( + ) + (сочетательный закон).

3^о. + (– ) + .

2) Вычитание векторов.

Опр. 9.Под разностью векторов и понимают вектор = – такой, что + = .

В параллелограмме – это другая диагональ СД

 

3) Умножение вектора на число.

Опр. 10. Произведением вектора на скаляр k называется вектор

= k = k,

имеющий длину ka, и направление, которого:

1. совпадает с направлением вектора , если k > 0;

2. противоположно направлению вектора , если k < 0;

3. произвольно, если k = 0.

Свойства умножения вектора на число.

1^о. (k+l) = k +l .

k ( + ) = k + k .

2^o. k (l ) = (kl) .

3^o. 1× = , (–1)× = – , 0× = .

 

15.2

Пирами́да (др.-греч. πυραμίς, род. п. πυραμίδος) — многогранник, основание которого —многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину^[1]. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д. Пирамида является частным случаем конуса.

 

Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:

где — площадь основания и — высота;

Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:

Полная поверхность — это сумма боковой поверхности и площади основания:

Для нахождения боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулы:

где — апофема, — периметр основания, — число сторон основания, — боковое ребро, — плоский угол при вершине пирамиды.

 

Объем пирамиды

 

где S_осн - площадь основания, H - высота.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей её боковых граней.

 

Площадь полной поверхности пирамиды

S_п=S_б+2S_осн,

где S_б - площадь боковой поверхности прямой пирамиды, S_осн - площадь основания.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды

 

где P_осн - периметр основания правильной пирамиды, l - её апофема.

 

Билет 16.1

 

Метод координат — весьма эффективный и универсальный способ нахождения любых углов или расстояний между стереометрическими объектами в пространстве.

Для того, чтобы использовать метод координат, надо хорошо знать формулы. Их три:

1. Главная формула — косинус угла φ между векторами a = (x₁; y₁; z₁) и b = (x₂; y₂; z₂):

2. Уравнение плоскости в трехмерном пространстве: Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D — действительные числа, причем, если плоскость проходит через начало координат, D = 0. А если не проходит, то D = 1.

3. Вектор, перпендикулярный к плоскости Ax + By + Cz + D = 0, имеет координаты: n = (A; B; C).

 

16.3

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды

 

где P_осн - периметр основания правильной пирамиды, l - её апофема.

 

Билет 17.1

Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b называется число (скаляр), равный произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними. Скалярное произведение можно обозначать различными способами, например, как ab, a · b, (a, b), (a · b). Таким образом, скалярное произведение равно:

a · b = | a | · | b | · cos φ

Если хотя бы один из векторов равен нулю, то скалярное произведение равно нулю.

· Свойство перестановки: a · b = b · a (от перестановки множителей скалярное произведение не меняется);

· Свойство распределения: a · (b · c) = (a · b) · c (результат не зависит от порядка умножения);

· Свойство сочетания (по отношению кскалярному множителю): (λ a) · b = λ (a · b).

· Свойство ортогональности (перпендикулярности): если вектора a и b ненулевые, то их скалярное произведение равно нулю, только когда эти векторы ортогональны (перпердикулярны друг к другу) a _┴ b;

· Свойство квадрата: a · a = a ² = | a |² (скалярное произведения вектора самого с собой равняется квадрату его модуля);

· Если координаты векторов a ={x₁, y₁, z₁} и b ={x₂, y₂, z₂}, то скалярное произведение равно a · b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂.

 

 

17.2

Усечё́нная пирами́да — многогранник, образованный пирамидой и её сечением, параллельным основанию.