Признак скрещивающихся прямых.

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

 

Угол между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами. Таким образом, если вам удастся найти координаты направляющих векторов a = (x₁; y₁; z₁) и b = (x₂; y₂; z₂), то сможете найти угол. Точнее, косинус угла по формуле:

     

 

Билет 4.1

Логарифм числа b по основанию a (log _ab) определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b (Логарифм существует только у положительных чисел).

Обозначение: log _ab.

log _ab = x, a^x = b.

Логарифм числа b по основанию a - log _ab (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

Десятичный логарифм - lg b (Логарифм по основанию 10, а = 10).

Натуральный логарифм - ln b (Логарифм по основанию e, а = e).

 

Формулы и свойства логарифмов

1° Основное логарифмическое тождество - a^log _a^b = b;

2° log _a1 = 0;

3° log _aa = 1;

4° log _a(bc) = log _ab + log _ac;

5° log _a(b/c) = log _ab - log _ac;

6° log _a(1/c) = log _a1 - log _ac = - log _ac;

7° log _a (b ^c) = c log _ab;

8° log_(a ^c₎ b = (1/c) log _ab;

 

4.2

Теорема Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.

Рассмотрим углы О и О₁ с соответственно сонаправленными сторонами и докажем, что угол O равен углу O₁.
Отметим на сторонах угла О какие-нибудь точки А и В и отложим на соответственных сторонах угла О₁отрезки О₁А₁=ОА и 0₁В₁=ОВ (рис. 25).
Четырехугольник ОО₁А₁А — параллелограмм, так как противоположные стороны OA и O₁A₁параллельны и равны. Отсюда следует, что АА₁||00₁ и AA₁=OO₁. Аналогично четырехугольник OO₁BB₁ — параллелограмм, поэтому ВВ₁||00₁ и ВВ₁=ОО₁ Так как АА₁||ОО₁ и BB_l||00₁, то по теореме о трех параллельных прямых АА₁||ВВ₁. Кроме того, АА₁=00₁=ВВ₁. Таким образом, в четырехугольнике АВВ₁А₁противоположные стороны АА₁ и ВВ₁ параллельны и равны. Следовательно, этот четырехугольник — параллелограмм, и значит, стороны АВ и А₁В₁ равны.
Сравним теперь треугольники АОВ и A₁O₁B₁. Они равны по трем сторонам, и поэтому угол O равен углу O₁ Теорема доказана.

 

Билет 5.1

 

 

5.2

Определение 2.5.

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Теорема 2.6. Признак параллельности плоскостей.

Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны.

Чертеж 2.3.1. Доказательство проведем от противного. Пусть прямые a и b лежат в плоскости β, причем a || α и b || α (чертеж 2.3.1). Если плоскости α и β не параллельны, то они пересекаются по некоторой прямой c. Поскольку a || α, то по теореме о следе c || a. Аналогично получаем, что c || b, тогда a || b. Мы пришли к противоречию, поскольку a и b по условию пересекаются.

Теорема 2.7.

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то она оставляет на этих плоскостях параллельные следы.

Пусть α и β параллельны, γ – третья плоскость, которая пересекает их, причем α γ = a, β γ = b. Таким образом, a и b – следы плоскости γ на плоскостях α иβ. Прямые a и b лежат в одной плоскости γ и не имеют общих точек, так как общих точек не имеют плоскости α и β. Следовательно, a || b.

 

Теорема 2.8.

Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

Теорема 2.9.

Отрезки параллельных прямых, ограниченные двумя параллельными плоскостями, равны.

Чертеж 2.3.3.

Теорема 2.10.

Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях.

На чертеже 2.3.4 показаны углы BAC и B 1 A 1 C 1, причем AB || A 1 B 1 и AC || A 1 C 1. По признаку параллельности плоскостей плоскость BAC параллельна плоскости B 1 A 1 C 1. Пусть соответствующие отрезки на сторонах угла равны: AB = A 1 B 1 и AC = A 1 C 1. Проведем прямые AA 1, BB 1, CC 1. Четырехугольник ABB 1 A 1 – параллелограмм, так как AB = A 1 B 1 и AB || A 1 B 1, следовательно, AA 1 = BB 1 и AA 1 || BB 1. Аналогично докажем, что AA 1 = CC 1. Отсюда следует, что BB 1 = CC 1 и BB 1 || CC 1, следовательно, CBB 1 C 1 – параллелограмм и CB = C 1 B 1. Теперь утверждаем, что Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1, откуда BAC = B 1 A 1 C 1.

Билет 6.1

Логарифмы по основанию 10 (обозначение: ) до изобретения калькуляторов широко применялись для вычислений. Они обладали преимуществом перед логарифмами с иным основанием: целую часть логарифма числа легко определить.

§ Если то на 1 меньше числа цифр в целой части числа . Например, сразу очевидно, что находится в промежутке .

§ Если то ближайшее к целое (в меньшую сторону) равно общему числу нулей в перед первой ненулевой цифрой, взятому со знаком минус. Например, находится в интервале .

Кроме того, при переносе десятичной запятой в числе на разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на Например, . Отсюда следует, что достаточно составить таблицу десятичных логарифмов для чисел в диапазоне от до причём привести в таблице только мантиссы (дробную часть) логарифмов.

Связь с натуральным логарифмом:

Поскольку применение логарифмов для расчётов с появлением вычислительной техники почти прекратилось, в наши дни десятичный логарифм в значительной степени вытеснен натуральным. Он сохраняется в основном в тех математических моделях, где исторически укоренился — например, при построении логарифмических шкал.

y = lg(x) - десятичный логарифм от х

Текст формулы:
y(x) =

 

y = lg^(1/2)(x) - корень квадратный от десятичного логарифма от x

Текст формулы:
y(x) =

 

 

y = lg(x+1)lg(x+2) - произведение десятичных логарифмов

Текст формулы:
y(x) =

 

y = lg(x^2) - десятичный логарифм от квадрата x

Текст формулы:
y(x) =

6.2

Определение
Прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку называется перпендикулярной этой плоскости, если она пересечения.

Теорема 1
ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

Теорема 2
1-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой

Теорема 3
2-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

 

Билет 7.1

Теорема. Пусть , – промежуток, функция непрерывна. Тогда у функции есть первообразная.

Рассмотрим функцию на промежутке . По предыдущей теореме, эа функция имеет первообразную. Все первообразные ее имеют вид . Выберем из всех этих первообразных такую, значение которой при равно . Такая первообразная найдется (почему?). Назовем ее натуральным логарифмом.

Обозначение: .