Механическое движение. Элементы кинематики материальной точки: радиус-вектор, перемещение, скорость.

Ускорение точки. Нормальное и тангенциальное ускорение. Проекции ускорения на координатной оси.

 

Ускорение - векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости с течением времени, равная приращению скорости за единицу времени. Различают среднее и мгновенное ускорения.

- среднее ускорение,

- мгновенное ускорение.

Вектор ускорения может быть представлен через его проекции на координатные оси:

,

где , , .

Модуль ускорения можно определить следующим образом:

.

1.2 Тангенциальная и нормальная составляющие ускорения

Часто используется представление ускорения через две составляющие: тангенциальное и нормальное ускорения (рис. 2):

;

.14 29

 

Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю (величине) и направлено по касательной к траектории: ,

где - производная модуля скорости, - единичный вектор касательной, совпадающий по направлению со скоростью.

Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и направлено по радиусу кривизны к центру кривизны траектории в данной точке:

,

где R - радиус кривизны траектории, - единичный вектор нормали.

Модуль вектора ускорения может быть найден по формуле

.

1.3 Основная задача кинематики

Основная задача кинематики заключается в нахождении закона движения материальной точки. Для этого используются следующие соотношения:

; ; ; ;

.

Частные случаи прямолинейного движения:

1) равномерное прямолинейное движение: ;

2) равнопеременное прямолинейное движение: .

 

Динамика материальной точки. Сила, масса и импульс частицы. Законы Ньютона.

Работа, совершаемая при вращении твердого тела. Момент силы, относительно точки и оси вращения. Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела.

 

Момент силы от-но непод т-ки вращения- векторная величина= векторному произведению радиус-вектора в т-ке приложения силы на верток силы. М=r×F. Момент силы от-но непод оси вращения- скалярная величина = проекции на эту ось момента силы, определенного относительно произвольной т-ки этой оси. М_z=Mcosφ. М_z не зависит от выбора т.О на оси. Рассмотрим неподвиж тв тело,которое может вращаться вокруг неподвиж оси z,проходящей ч\з центр инерции тв тела. В некоторый момент времени на ТВ тело начинает действовать постоянная сила F,приложенная к т.В на расстоянии r от оси вращения

Формула Лапласа

Рассмотрим тонкую жидкую плёнку, толщиной которой можно пренебречь. Стремясь минимизировать свою свободную энергию, плёнка создаёт разность давления с разных сторон. Этим объясняется существование мыльных пузырей: плёнка сжимается до тех пор, пока давление внутри пузыря не будет превышать атмосферное на величину добавочного давления плёнки. Добавочное давление в точке поверхности зависит от средней кривизны в этой точке и даётся формулой Лапласа:

Здесь R_1,2 — радиусы главных кривизн в точке. Они имеют одинаковый знак, если соответствующие центры кривизны лежат по одну сторону от касательной плоскости в точке, и разный знак — если по разную cторону. Например, для сферы центры кривизны в любой точке поверхности совпадают с центром сферы, поэтому

R₁ = R₂ = R

Для случая поверхности кругового цилиндра радиуса R имеем

Механическое движение. Элементы кинематики материальной точки: радиус-вектор, перемещение, скорость.

Механическим движением тел называют изменение их положения (или положения их частей) в пространстве с течением времени. В основе классической механики лежат законы Ньютона.

Кинематика изучает механическое движение с геометрической точки зрения и не рассматривает причины, вызывающие это движение. В механике рассматривается движение таких объектов, как материальная точка и абсолютно твердое тело.

Материальной точкой называется тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь.

Абсолютно твёрдым телом называется тело, деформацией которого в данных условиях можно пренебречь. Абсолютно твёрдое тело можно рассматривать как систему материальных точек, жестко связанных между собой.

1.1 Кинематические характеристики движения материальной точки

Описать движение материальной точки – значит знать ее положение относительно выбранной системы отсчета в любой момент времени. Системой отсчёта называется система координат, связанная с телом отсчёта и снабжённая синхронизированными часами. Наиболее часто используется прямоугольная декартова система координат (рис. 1).

Положение материальной точки характеризуется радиусом-вектором , проведённым из начала координат в данную точку (рис. 1). Проекции радиуса-вектора на координатные оси соответствуют координатам точки в выбранной системе координат (рис. 1):

.

Движение материальной точки задано, если известна зависимость координат точки от времени, т.е.

или .

Данные уравнения являются кинематическими уравнениями движения материальной точки, или законом движения точки. В процессе движения конец радиуса-вектора, связанный с точкой, описывает в пространстве кривую, называемую траекторией движения материальной точки. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движения.

Перемещением материальной точки называют вектор, проведённый из начальной точки в конечную точку траектории (рис. 1):

.

Вектор может быть выражен через приращения координат и орты соответствующих осей (единичные векторы, направленные по осям): .

Модуль вектора перемещения можно определить следующим образом:

.

Путь материальной точки S₁₂ - это длина траектории.

Скорость - векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения положения тела в пространстве, равная перемещению тела за единицу времени. Различают среднюю и мгновенную скорости.

- средняя скорость;

- мгновенная скорость;

- среднее значение модуля скорости.

Вектор средней скорости направлен так же, как и вектор перемещения . Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории движения так же, как вектор элементарного перемещения: . Так как , где dS - элементарный путь, то модуль мгновенной скорости равен производной пути по времени:

.

В декартовой системе координат скорость можно представить через её проекции на оси:

Модуль скорости может быть найден по следующей формуле:

.

При рассмотрении движения тела относительно двух различных инерциальных систем отсчета используют классический закон сложения скоростей: скорость тела относительно неподвижной системы отсчета равна векторной сумме скорости тела относительно движущейся системы и скорости самой движущейся системы относительно неподвижной :

.