Условия и уравнения равновесия

РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ СИЛ

 

Приведение силы к одному центру

(метод Пуансо)

 

Пусть даны сила , приложенная к твердому телу в точке А, и произвольная точка О, которую назовем центром приведения. Проведем из точки О в точку А радиус-вектор (рис. 4.1, а) и определим момент силы относительно центра приведения:

.

 

Рис. 4.1

 

Приложим в точке О две уравновешивающиеся силы и , равные и параллельные силе (рис. 4.1, б). Получим эквивалентную силе систему трех сил , и , которую можно рассматривать как совокупность силы ( = ), приложенной в центре приведения О и присоединенной пары сил , .

Опустив из точки О перпендикуляр на линию действия силы , получим плечо этой пары сил и найдем модуль ее момента равный модулю момента силы относительно центра приведения О.

 

,

 

Вектор момента присоединенной пары сил направлен перпенди­кулярно плоскости пары , совпадающей с плоскостью треугольника ОАВ, в ту сторону, с которой пара представляется стремящейся вращать эту плоскость в сторону, противоположную вращению часовой стрелки. Приложив его как свободный вектор в центре приведения О, убедимся, что направление совпадает с направлением вектора момента силы относительно центра приведения. Так как эти векторы равны по модулю и совпадают по направлению, то они геометрически равны, т. е.

 

.

 

Таким образом, силу , не изменяя ее действия на твердое тело, можно перенести из точки ее приложения А в любой центр приве­дения О, приложив при этом к телу пару сил с моментом , геометрически равным моменту этой силы относительно центра приведения (рис. 4.1, в).

Этот метод был предложен французским ученым Пуансо (1777 -1859) и называется приведением силы к заданному центру.

 

 

Приведение произвольной системы сил к

Заданному центру

Применяя метод Пуансо, приведем систему трех произвольно расположенных сил , приложенных к твердому телу в точ­ках А ₁, А ₂ и А ₃ к заданному центру О. Получим три силы , приложенные в центре О, и три присоединенные пары сил (рис. 4.2). Складывая силы

 

Рис. 4.2

по правилу многоугольника, получим их равнодействующую , равную геометрической сумме заданных сил и приложенную в центре приведения О:

.

 

Геометрическая сумма всех сил системы называется главным вектором системы сил и в отличие от равнодействующей обозначается .

Складывая пары , получим эквивалентную им пару сил. Момент каждой присоединенной пары сил равен моменту соответствующей силы относительно центра приведения:

 

.

 

Момент пары сил, эк­вивалентной трем присо­единенным парам сил, ра­вен геометрической сумме моментов этих пар. Строя многоугольник моментов присоединен­ных пар, находим

 

,

 

т. е. момент пары сил, эквивалентной трем присоединенным парам, равен главному моменту этих трех сил относительно центра приведения. Распространяя полученные результаты на любое число сил, произвольно расположенных в пространстве, имеем

 

,

 

Этот результат можно сформулировать следующим образом: силы, произвольно расположенные в пространстве, можно привести к одной силе, равной их главному вектору и приложенной в центре приведения, и к паре сил с моментом, равным главному моменту всех сил относи­тельно центра приведения.

Выбор центра приведения не отражается на модуле и направлении главного вектора , но влияет на модуль и направление главного мо­мента .