Скорость и ускорение точек, вращающегося тела

,(10.18)

.

Проинтегрируем это уравнение в соответствующих пределах:

. (10.19)

Уравнение (10.19) является уравнением равнопеременного вращения тела.

Так как равнопеременное вращение происходит обычно в одном направлении, то где знак плюс соответствует уско­ренному вращению, а знак минус - замедленному. Учитывая это, формулам (18) и (19 можно придать более удобный для решения задач вид:

.

Из формулы угловой скорости находим , т. е. при равно­переменном вращении абсолютное значение углового ускорения тела равно отношению изменения угловой скорости тела за некоторый промежуток времени к числовой величине этого промежутка.

Пример 5. Вал начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя; в первые 20 с он совершает 100 оборотов. Каковы егоугловые скорость и ускорение по истечении 20 с?

Решение. Так как вал начинает вращаться из состояния покое, то ω ₀=0. В этом случае при φ ₀=0

,(1)

(2)

Из уравнения (1) находим

, (3)

где .

Подставляяв (3) числовые значения, находим

Передаточные механизмы

Передаточные механизмы предназначены для передачи вращения от одною вала. называемого ведущим, к другому, называемому ведо­мым. Если оси ведущего и ведомого валов параллельны или пересекают­ся, то вращение можно передать с помощью фрикционной или зубчатой передачи (рис. 10.8 – 10.11).

Во фрикционной передаче вращение передается вследствие действия силы сцепления на поверхности соприкасающихся колес, в зубчатой передаче - от зацепления зубьев. Вращательная скорость в точке соприкасания колес относится к точкам обоих колес, т. е. ее модуль определяется как

.

откуда

.

Таким образом, угловые скорости колес фрикционной или зубчатой передачи обратно пропорциональны радиусам колес.

Отношение угловой скорости ведущего колеса к угловой скорости ведо­мого колеса называется передаточным числам:

.

Рис. 10.8 Рис. 10.9

Рис. 10.10 Рис. 10.11

Передаточное число можно вычислить как обратное отношение радиусов колес:

.

Так как числа зубьев пропорциональны длинам окружностей и, следовательно, радиусам, то передаточное число определяется и по числу зубьев:

.

При внешнем зацеплении (рис. 10.8) направление вращения ведущего и ведомого колес противоположное, а при внутреннем (рис. 10.9) - одинаковое.

Кроме фрикционной и зубчатой передач существует передача на расстоянии с помощью гибкой связи (ремня, троса, цепи) (рис. 10.11).

Taк как скорости всех точек ремня одинаковы и ремень не скользит по поверхности шкива, то к ременной передаче относятся те же соот­ношения:

.

Применяются также серии колес с неподвижными осями вращения в виде последовательного ряда с паразитными колесами (рис. 10.12) и последовательного ряда с кратным зацеплением (рис. 10.13), называемые рядовыми соединениями колес.

Рис. 10.12 Рис. 10.13

Определим передаточное число фрикционной передачи в виде рядо­вого соединения с паразитными колесами:

для колес 1-2 ;

для колес 2-3 .

Перемножаем левые и правые части, получаем

.

Для зубчатых колес

.

Передаточное число рядового соединения с паразитными колесами равно отношению радиусов (чисел зубьев) ведомого и ведущего колес и не зависит от радиусов (чисел зубьев) паразитных колес.

Определим передаточное число рядового соединения с кратным зацеплением.

Частное передаточное число для колес 1-2

.

Частное передаточное число для колес 3-4

.

Так как колеса 2—3 соединены жестко, т. е. то общее передаточное число равно произведению передаточных чисел:

.

Для зубчатых колес

.

Таким образом, общее передаточное число рядового соединения колес с кратным зацеплением равно произведению чисел зубьев ведомых колес, деленному на произведение чисел зубьев ведущих колес.

В рассмотренных выше передачах при равномерном вращении ведущего вала ведомый вал вращается тоже равномерно.

Для получения переменной угловой скорости ведомого вала приме­няются передачи, в которых расстояние от точки соприкасания колес до оси одного из валов или обоих валов изменяется.

Рис. 10.14 Рис. 10.15

Во фрикционной передаче, изображенной на рис. 10.14, колесо 1 пере­мещается вдоль его оси и отношение угловых скоростей зависит от переменного расстояния х:

.

На рис.10.15 изображены эллиптические колеса, оси вращения которых находятся в фокусах эллипсов. Отношение угловых скоростей зависит от переменных расстояний

и ,

где

.

Пример 1. Вал начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя. В первые 20 с он совершает 100 оборотов. Каковы егоугловые скорость и ускорение по истечении 20 с?

Решение. Так как вал начинает вращаться из состояния покое, то ω ₀=0. В этом случае уравнения при имеютвид

, (1)

Из уравнения (1) находим

,

где .

Пример 2. Лебедка (рис. 2.2.1), поднимающая груз по наклонной плоскости, состоит из двух валов 1 л 2 с шестернями (зубчатыми колесами), числа зубьев которых равны соот­ветственно z ₁ = 12 и z ₂= 48. К валу 2 прикреплен барабан радиусом r= 0,3 м, на который наматывается грузовой трос. Вал 1 вращается равноускоренно с угловым ускоре­нием ε ₁ = 8 с ^–2. Определить скорость, ускорение и переме­щение груза, а также ускорение точки В барабана в мо­мент времени t = 1 с. В начальный момент времени систе­ма находилась в покое.

Рис. 2.2.1

Решение. Найдем угловую скорость ω ₁ ведущего вала 1 из условия, что оно вращается с угловым ускорени­ем ε ₁ = const, учитывая, что . Интегрируя послед­нее уравнение по времени, получаем .

Постоянную интегрирования получаем из начального условия: при t = 0 ω ₁ = 0 (система находилась в покое), следовательно C ₁ = 0.

Итак, угловая скорость вала 1 определяется уравнени­ем .

При t = 1 с получаем .

Шестерни 1 и 2 взаимодействуют без проскальзыва­ния. Поэтому скорости точек их касания (точка А) будут одинаковы: .

Отсюда находим угловую скорость ω ₂ вала 2, учитывая, что :

.

Угловое ускорение вала 2 равно .

Поскольку трос нерастяжим и относительно барабана не проскальзывает, то скорость груза v будет равна скоро­сти любой из точек на ободе барабана, в частности, скоро­сти точки В: v = v_B = ω ₂ r = 0,6 t =|_{t=1 c} =0,6 м/с.

Ускорение точки В равно векторной сумме касатель­ного (вращательного) и нормального (центростремитель­ного) ускорений: .

Направление вращательного ускорения определяется направлением углового ускорения ε ₂, а его модуль равен м / с ². Центростремительное ускорение на­правлено к оси вращения вала 2 и равно по модулю м / с ².

Модуль ускорения точки В

м / с ².

Ускорение груза можно найти, взяв производную по времени от его скорости, так как это касательное ускоре­ние: м / с ².

Перемещение груза определяется интегрированием модуля скорости по времени:

м.

Ответ: v = 0,6 м/с; а = 0,6 м/с ²; s = 0,3 м; а_B = = 1,34 м / с ².

Пример 3. Маховик радиусом R = 0,5 м вращается так, что его угловая скорость меняется в соответствии с уравнением . Для момента времени t = 0,5 с после нача­ла движения определить скорость и ускорение точки на ободе маховика. Установить, за какое время маховик сде­лает 100 полных оборотов.

Рис. 2.2.2

Решение. Для момента времени t = 0,5 с получаем ω = 0,680 с ^–1, и скорость точки на ободе маховика равна v = ωR = 0,340 м/с.

Угловое ускорение маховика

.

Ускорение точки на ободе маховика равно сумме двух составляющих ускорений: , где и — каса­тельное (вращательное) и нормальное (центростремитель­ное) ускорения точки.

Учитывая, что вращательное ускорение равно по мо­дулю , найдем =0,680 м / с ²; центростремительное ускорение . Модуль полного ускорения точки

м/с.

Направления скорости и ускорений по­казаны на рис. 2.2.2.

Поскольку значения величин угловой скорости и углового ускорения имеют одинаковые знаки, вращение тела уско­ренное. Соответственно, совпадают по направлению угловая скорость и угловое ускорение тела, а также скорость точки и вращательное ускорение.

Поворот маховика на 100 полных оборотов соответ­ствует углу его поворота φ = 200 π рад. Выражение для угла поворота найдем из уравнения .

Имеем

.

Итак, , откуда находим t = 2,19 с.

Пример 4. Вращение маховикав периодпуска машины определяется уравнением где t – в с, φ - в рад. Определить модуль и направление ускорения точки, отстоящей от оси вращения на расстоянии 50 см, в тот момент, когда ее ско­рость равна 8 м / с.

Рис. 2.2.3

Решение. По уравнению вращения маховика находим его угловые скорость и ускорение согласно формулам:

(1)

(2)

Пользуясь формулой, находим момент времени t ₁, когда скорость точки М равна 8 м / с:

По этому значению из (1) находим t ₁:

По уравнению (2) вычисляем ε, а затем по формулам модуливращательного, центростремительногои полного ускорений точки М в этот момент времена:

Как видно, модуль полного ускорения точки весьма мало отличается от модуля центростремительного ускорения точки (рис. 2.2.3).

Направление ускоренияточки определяетсяуглом β, образованным уско­рениеми радиусом СМ:

Пример 5. Груз А, подвешенный к нити АВ, намотанной на барабан, опу­скается равноускоренно из состояния покоя, приводя во вращение барабан. За первые 3 с барабан совершает 9 оборотов. Определить в конце 5-й секунды скорость и ускорение точки обода барабана, а также груза А, если диаметр барабана D = 30 см (рис. 2.2.4, а).

Рис. 2.2.4

Решение. Барабан вращается равноускоренно согласно уравнению:

.

Формула угловой скорости имеет вид:

.

Для того чтобы начальное значение угла поворота было равно нулю, следует неподвижную полуплоскость поместить в начальном положении под­вижной полуплоскости, вращающейся с барабаном. Выполним это и получим .

При вращении из состояния покоя начальная угловая скорость барабана равна нулю . При этих условиях

; (1)

. (2)

Так как при t = 3 с рад, то из уравнения (1) определим угловое ускорение :

.

Из уравнения (2) найдем угловую скорость барабана в конце 5-й секунды:

.

Определим в точке В обода барабана (рис. 2.2.4, б) модули вращательной скорости, вращательного и центростремительного ускорений в этот же момент времени по формулам:

(модуль вращательного ускорения точки тела при равнопеременном вращении одинаков для всех моментов времени);

.

Модуль полного ускорения точки обода барабана определяется по формуле:

.

Вследствие незначительной величины модуля вращательного ускорения по сравнению с модулем центростремительного ускорения полное ускорение прибли­женно равно центростремительному.

.

Ускорение груза (рис. 2.2.4, б) равно вращательному ускорению точки обода:

.

Пример 6. Центробежный регулятор вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси. Угол АСВ равен 60^о, а ускорение шаров А и В равно по величине 100 g, где g= 980 см/с ². Стержни АС, ВС, АD и BD одинаковой длины l= 10 см. Сколько оборотов в минуту делает регулятор (рис. 2.2.5)?

Рис. 2.2.5

Решение. Для того чтобы найти величину угловой скорости регулятора, напишем зависимость ускорения шара от параметров регулятора. Так как регулятор вращается с постоянной скоростью, то ускорение шара будет центростремительным ускорением, модуль которого определяется формулой

,

где r – кратчайшее расстояние шара до оси вращения.

С другой стороны, согласно условию, . Приравнивая эти два выражения нормального ускорения шара, находим:

.

Угловая скорость регулятора будет равна

.

Лекция 11