Ускорение точки при сложном движении

 

Для определения абсолютного ускорения точки в случае непоступательного переносного движения, описанного ранее, воспользуемся выражением абсолютной скорости точки (13.2):

 

Абсолютное ускорение точки М

.

 

Дифференцируя выражение, определяющее , и приводя подобные члены, получаем

 

(13.8)

На основании (13.3)

Аналогично,

.

Рассмотрим отдельные слагаемые выражения, определяющего :

1) - ускорение полюса О;

2)

- относительное

ускорение точки;

 

4.

Подставляя эти выражения в формулу (13.8), получаем

 

 

Переносное ускорение точки, как указывалось ранее, представляет собой ускорение точки, связанной с подвижной системой отсчета и совпадающей в данный момент с движущейся точкой М. В рас­сматриваемом случае такой точкой является точка М свободного твер­дого тел», ускорение которой состоит из ускорения полюса , враща­тельного ускорения и ее центростремительного ускорения , определенных относительно осей и , проходящих через полюс О:

 

(13.9)

 

Таким образом, первые три слагаемых выражения, определяющего , представляют собой переносное ускорение точки. Учитывая это, окончательно получаем

 

Здесь - кориолисово (поворотное) ускорение точки.

Следовательно,

. (13.10)

 

Это равенство выражает теорему Кориолиса (1792-1843) о сложе­нии ускорений в случае непоступательного переносного движения, которая формулируется так: в случае непоступательного переносного движения абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного, относительного и кориолисова ускорений.

Таким образом, абсолютное ускорение определяется замыкающей стороной многоугольника ускорений.

В случае поступательного переносного движения , а ускорения всех точек, неизменно связанных с подвижной системой отсчета, в каждый момент геометрически равны. Поэтому переносное ускорение точки М равно ускорению полюса, т. е. . Так как в этом случае , то в случае поступательного пере­носного движения формула (13.10) принимает вид

 

(13.11)

 

Полученный результат является следствием теоремы Кориолиса и формулируется так: в случае поступательного переносного движения абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме ее перенос­ного и относительного ускорений.

Таким образом, в случае поступательного переносного движения абсолютное ускорение точки и определяется диагональю параллело­грамма, построенного на двух составляющих ускорениях: переносном ,и относительном .

Модуль абсолютного ускорения точки в этом случае можно вычис­лить по формуле

 

(13.12)

 

Относительное ускорение , расположено в соприкасающейся пло­скости траектории относительного движения; переносное ускорение - в плоскости, которая параллельна соприкасающейся плоскости траектории полюса О.

Ускорение кориолисово

 

Кориолисовым или поворотным ускорением называется составляю­щая абсолютного ускорения точки в сложном движении, равная удвоен­ному векторному произведению угловой скорости переносного вращения на относительную скорость точки:

 

(13.13)

 

Кориолисово ускорение характеризует:

1) изменение модуля и направления переносной скорости точки вследствие ее относительного движения;

2) изменение направления относительной скорости точки вследствие вращательного переносного движения.

Например, если человек идет равномерно вдоль радиуса равно­мерно вращающейся платформы, то его относительной скоростью является скорость его движения вдоль радиуса, а переносной — ско­рость той точки платформы, где он находится в данный момент (рис. 13.6).

Пусть в момент времени t человек занимает положение М, а в момент t + Δ t - положение M ₁.

Так как относительное движение равномерное и прямолинейное, то относительное ускорение человека . Однако за время Δ t относительная скорость изменяется по направлению от до , вслед­ствие вращения подвижной системы (платформы).

 

Рис. 13.6 Рис. 13.7

 

За время Δ t происходит изменение модуля переносной скорости от до вследствие относительного перемещения человека из точки М в точку M₁ и ее направления. Указанные изме­нения и вызывают появление кориолисова ускорения. Модуль кориолисова ускорения определяется как модуль вектор­ного произведения (13.13):

 

. (13.14)

 

Кориолисово ускорение равно нулю в трех случаях:

1) если , т. е. в случае поступательного переносного движения или в моменты обращения в нуль угловой скорости непоступатель­ного переносного движения;

2) если , т. е. в случае относительного покоя точкиилив моменты равенства нулю относительной скорости движущейся точки:

3) если , т.е. в случае, когда или ; иначе, когда относительная скорость точки параллельна оси переносного вращения, как, например, при движении точки М вдоль образующей цилиндра, вращающегося вокруг своей оси (рис. 13.7). Направление кориолисова ускорения определяется по правилу вектор­ного произведения.

 

Рис. 13.8 Рис. 13.9

 

IIycть точка М движется со скоростью относительно тела, вращающегося вокруг оси с угловой скоростью (рис. 13.8). Построив условно вектор в точке М, направляем кориолисово ускорение по перпендикуляру к плоскости векторов и в ту сторону, откуда поворот вектора к скорости на наименьший угол виден происходящим в сторону, обратную вращению часовой стрелки.

Для определения направления кориолисова ускорения удобно поль­зоваться правилом Жуковского: чтобы найти направление кориолисова ускорения, следует спроецировать относительную скорость точки на плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения, и повернуть эту проекцию в той же плоскости на 90 ° в сторону переносного вращения (рис. 13.9).

Действительно, полученное направление (рис. 13.9) перпендику­лярно плоскости треугольника, образованного скоростью и ее проекцией , а эта плоскость совпадает с плоскостью векторов и (рис. 13.8). Если , то sin (, ) = 1, тогда

 

(13.15)

В этом случае три вектора , , взаимно перпендикулярны (рис. 13.10). Этот случай определения направления кориолисова ускорения возможен при относительном движении точки в плоскости, перпен­дикулярной оси переносного вращения.

Рис. 13.10 Рис. 13.11

 

Для иллюстрации правила Жуковского рассмотрим несколько при­меров определения модуля и направления кориолисова ускорения.

Предположим, например, что диск вращается вокруг оси, перпенди­кулярной его плоскости в сторону, обратную вращению часовой стрелки с угловой скоростью , а по хорде диска KL движется точка М (рис. 13.11).

 

Рис. 13.12 Рис. 13.13

 

Определим модуль и направление кориолисова ускорения точки М в положении, указанном на рисунке, если относительная скорость точки в этот момент равна . Так как точка движется в плоскости диска, перпендикулярной его осивращения, то sin(, )=1 и модуль кориолисова ускорения

.

 

Направление корнолисова ускорения получаем, повернув в пло­скости диска вектор против вращения часовой стрелки на угол 90°.

Определим теперь модуль и направление кориолисова ускорения точки М, движущейся с относительной скоростью по образую­щей кругового конуса под углом МОА = а от его вершины к основа­нию (рис. 13.12). Конус вращается вокруг своей оси с угловой ско­ростью в направлении, указанном на рисунке.

Отложив вектор угловой скорости переносного вращения по оси этого вращения, находим .

Определяем модуль кориолисова ускорения точки М:

 

 

Чтобы найти направление кориолисова ускорения, проецируем отно­сительную скорость точки на плоскость, перпендикулярную оси враще­ния конуса. Проекция относительной скорости направлена по пря­мой СК, совпадающей с радиусом СМ. Повернув эту проекцию на угол 90^о но направлению вращения конуса, установим, что кориолисово ускорение направлено по касательной к окружности радиусом СМ в сторону вращения конуса.

Кориолисовым ускорением обладают точки (тела), движущиеся по поверхности Земли, например частицы воды в реках, поезда, авто­мобили и т.д.