Центр масс тела и системы тел

Рассмотрим систему N тел или материальных точек с массами , положение которых относительно произвольной точки О (полюса) задается радиус-векторами (рис.16).

 

Рис.16

Под центром массC системы тел понимают точку, в которой сосредоточена вся масса системы , положение которой относительно выбранного полюса О задается соотношением

.

Любая система тел с известным положением их центров масс может быть заменена системой материальных точек, положение общего центра масс C которых может быть вычислено по приведенной формуле.

Это векторное равенство может быть спроецировано на оси X,Y,Z, произвольно выбранной системы координат XYZ с началом в полюсе О

,

где – координаты центра масс С в выбранной системе координат XYZ.

Для тела с распределенной массой положение его центра масс С относительно полюса О и его координаты в выбранной системе отсчета XYZ рассчитываются по формулам

.

Центр масс движется со скоростью и ускорением , равными

, ,

где и скорость и ускорение i-го тела системы.

Пример 1. Найти положение центра масс квадрата со стороной l, массы сторон которого равны m, 2m, 3m, 4m.

Дано: l, Найти:

Решение: Пронумеруем стороны квадрата в соответствии с их массами. Выберем начало О системы координат в центре квадрата, ось X направим от О к центру третьей стороны, а ось Y - от О к центру второй. Заменим стороны квадрата материальными точками, находящимися в центрах его сторон. В этой системе координат положения центров сторон квадрата равны

Координаты и положение центра масс C квадрата относительно его центра О (полная масса квадрата равны

Угол между направлением вектора и осью X определяется условием , то есть

Ответ:

Пример 2. Найти положение ЦМ равностороннего треугольника высотой .

Дано: . Найти:

Решение: Выберем начало О системы координат в вершине треугольника, ось направим вдоль его высоты (рис.17). Площадь треугольника равна , а масса .

Рис.17

В качестве элемента массы возьмем полоску на расстоянии z от точки О шириной dz, параллельную основанию a. Длина полоски , ее площадь , а масса . Тогда положение ЦМ треугольника относительно его вершины

Ответ: относительно вершины треугольника.

 

Пример 3. Найти положение центра масс прямого конуса высотой h и радиусом основания R.

Дано: h, R. Найти: .

Решение: Выберем начало О системы координат в вершине конуса. Ось Z направим по его оси симметрии к его основанию, а оси X и Y перпендикулярно к оси Z в произвольных направлениях (рис.18). Масса конуса .

Рис.18

В качестве элемента массы dm выберем диск радиуса r, на расстоянии z от его вершины, толщиной dz, плоскость которого параллельна его основанию. Тогда Координаты центра масс C конуса из симметрии задачи

Ответ: Центр масс конуса находится на расстоянии от его вершины.

Пример 4. Найти положение центра масс полусферы радиуса R относительно ее основания.

Дано: R. Найти: .

Решение: Выберем начало О системы координат в центре полусферы. Ось Z направим по ее оси симметрии перпендикулярно к ее основанию, а оси X иYперпендикулярно к оси Z в произвольных направлениях (рис.19).Масса полусферы . В качестве элемента массы dm выберем диск радиуса , на расстоянии z от центра полусферы, толщиной dz, плоскость которого параллельна основанию полусферы. Тогда Координаты центра масс C полусферы из симметрии задачи

Ответ:

Рис.19

Пример 5. Найти положение ЦМ половины диска радиуса R.

Дано: R. Найти: .

Решение: Выберем начало О системы координат в центре диска. Ось Z направим вдоль оси симметрии половины диска к его вершине (рис.20).

Рис.20

Масса полукруга , где – поверхностная плотность массы. В качестве элемента массы выберем стержень на расстоянии z от точки О длиной , где . Ширина стержня dz, площадь , а масса . При – и . Тогда положение ЦМ полукруга на оси Z

.

Ответ: .

Пример 6. Найти положение ЦМ кругового сектора радиуса R с углом при вершине равным .

Дано: . Найти:

Решение: Начало О системы координат возьмем в центре кругового сектора, а ось Z направим вдоль его оси симметрии (рис.21). Масса сектора ,где – поверхностная плотность его массы.

Рис.21

Задачу будем решать в полярной системе координат. В качестве элемента массы dmвыберем площадку, находящуюся на расстоянии rот точки О под углом α к оси X, перпендикулярной оси Z симметрии сектора. Ее координата по оси Z равна , площадь , а масса .

Положение ЦМ кругового сектора на оси Z относительно точки О, боковые стороны которого составляют углы с осью X , с учетом, что , равно

.

Для половины диска приходим к результату примера 5: .

Ответ: .

Силы в механике

Сила – это векторная мера взаимодействия тел (скалярной мерой взаимодействия является потенциальная энергия тела ).

Любая сила характеризуется ее величиной, направлением и точкой приложения. Осуществлять параллельный перенос начал векторов сил, действующих на тело, в одну точку в задачах на поступательное движение тела нежелательно, а в задачах на вращательное движение тела вообще нельзя, так как это приведет к неправильному решению задачи.

К механическим силам, действующим на тело, относятся:

1. Реакции связейN, T, R и т.д. Связь (опора) – это любое тело, ограничивающее движение другого тела (поверхность какого-либо тела, нить). Реакции связей не имеют конкретного способа вычисления и их находят из второго закона Ньютона.

2. Сила трения скольжения , где μ – коэффициент трения тела о поверхность связи, N – нормальная реакция связи. Силу трения покоя находят из условия равновесия тела на поверхности. Силу трения качения и скольжения тела находят из основных динамических принципов: второго закона Ньютона или основного закона динамики вращательного движения.

3. Гравитационная сила или сила тяжести согласно закону всемирного тяготения Ньютона

где γ – гравитационная постоянная, M и m – гравитационные массы взаимодействующих тел, r –расстояние между их центрами. Если M – масса планеты, то g – это ускорение свободного падения на расстоянииr от центра планеты. Для планеты радиуса R (для Земли ) ускорение свободного падения на высоте h от поверхности планеты равно

где – ускорение свободного падения на поверхности планеты. Для Земли Масса тела, входящая в закон всемирного тяготения, называется гравитационной, а входящая во второй закон Ньютона – инертной. Это разные массы. Равенство единиц измерения инертной и гравитационной масс достигается соответствующим опытным выбором гравитационной постоянной