Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической энергии

Если все внешние силы, действующие на тело, разделить на консервативные и неконсервативные, то теорему о кинетической энергии тела можно переформулировать в терминах полной механической энергии тела. Учитывая, что , получим для работы результирующей силы

.

Откуда

,

где введена величина , называемая полной механической энергией тела. Полученное соотношение называют теоремой о полной механической энергии тела.

Если тело движется только в поле консервативных сил (неконсервативные силы отсутствуют или их работа равна нулю), то и или . Это закон сохранения полной механической энергии.

Теоремы о кинетической энергии тела и полной энергии тела являются различными формулировками одного и того же энергетического принципа и при решении задач можно пользоваться любой из них. При этом необходимо учитывать, что кинетическую энергию изменяют все силы, действующие на тело, а полную механическую энергию – только неконсервативные силы.

Пример 1. На наклонной плоскости, переходящей в основании в цилиндрическую поверхность радиуса R, вертикальный диаметр которой перпендикулярен основанию плоскости, находится тело (рис.44). С какой минимальной высоты оно должно скатиться, чтобы пройти верхнюю точку траектории и чему будет равна его скорость в этой точке? Трение между поверхностями и телом отсутствует.

Рис.44

Дано: R, g. Найти:

Решение: Работа силы трения и нормальной реакции связи на всем пути движения тела равны нулю: Поэтому возможно применение закона сохранения энергии. Для того чтобы тело прошло верхнюю точку, скатившись с минимальной высоты, необходимо, чтобы реакция поверхности в этой точке равнялась нулю .

Имеем для закона сохранения энергии тела в начальной и верхней точках его траектории и второго закона Ньютона в верхней точке . Откуда приходим к системе двух уравнений: и . Исключая , получим и .

Ответ: , .

Пример 2. Пружина с жесткостью k и длиной , с прикрепленным к ней телом массой m, насажены на невесомый стержень. Второй конец стержня и пружины закреплены в одной точке (рис.45). Какую минимальную скорость надо сообщить телу, чтобы оно сделало полный оборот? Трение между телом и стержнем отсутствует.

Рис.45

Дано: m, k, ,g. Найти:

Решение: Чтобы тело сделало полный оборот при минимальной начальной скорости, необходимо, чтобы в верхней точке траектории реакция пружины была равна нулю . Это означает, что в верхней точке траектории пружина не деформирована и ее длина равна .

Условие равновесия тела в нижней точке . Откуда . Второй закон Ньютона для тела в верхней точке , откуда скорость тела в этой точке .

Тело находится в поле двух консервативных сил: силы тяжести и упругой силы, поэтому его полная потенциальная энергия равна . Если выбрать нуль отсчета потенциальной энергии тела в поле силы тяжести в нижней точке его траектории, то закон сохранения для него в нижней и верхней точках траектории будет иметь вид

.

С учетом выражений для и он примет вид .Откуда

.

При отсутствии деформации пружины , , и .

Ответ: .