Характеристики колебательной системы с затуханием

Характеристиками колебательной системы с затуханием являются: декремент затухания, равный отношению амплитуд колебаний, отличающихся на период и логарифмический декремент затухания

,

где – число колебаний, которое совершает система за время затухания колебаний . Отсюда следует, что амплитуда затухающих колебаний может быть представлена в виде , где – число колебаний за время t. Декремент и логарифмический декремент затухания связаны соотношением .

Другой характеристикой является добротность колебательной системы Q, равная отношению энергии колебаний W(t)с множителем к ее потерям за период: . Учитывая что, и , получим

.

Добротность характеризует способность колебательной системы сохранять запасенную энергию. Чем она выше, тем лучше колебательная система сохраняет колебания.

Пример 1. Маятник за время совершил N колебаний, а за время их амплитуда уменьшилась в n раз. Найти логарифмический декремент затухания и добротность колебательной системы.

Дано: . Найти:

Решение: Период затухающих колебаний . Их амплитуда в момент времени равна . Тогда уменьшение амплитуды за время . Отсюда . Логарифмический декремент затухания . Если , то . Добротность колебательной системы .

Ответ: , .

Пример 2. Колебательная система с добротностью Q за некоторое время совершила N колебаний. Во сколько раз уменьшилась амплитуда ее колебаний за это время?

Дано: . Найти:

Решение: Логарифмический декремент затухания . Амплитуда затухающих колебаний с учетом и равна . Откуда .

Ответ: .

Пример 3. Математический маятник длиной l имеет логарифмический декремент затухания δ. Найти коэффициент затухания колебаний, частоту и период затухающих колебаний.

Дано: l, g, δ. Найти:

Решение: Частота собственных колебаний маятника . Логарифмический декремент затухания . Откуда . Частота затухающих колебаний . Ответ: , , .

Вынужденные колебания

Если на колебательную систему действует внешняя переменная сила , то она совершает вынужденные колебания. Если внешняя сила периодическая: , то уравнение вынужденных колебаний в системе с линейной силой трения имеет вид

, где . Решением этого уравнения в режиме установившихся колебаний (рис.75), происходящих с частотой ω вынуждающей силы, является функция

, где , .

Рис.75

 

Рис.77

График зависимости амплитуды колебаний от частоты вынуждающей силы называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) колебательной системы или резонансной кривой (рис.77). Амплитуда вынужденных колебаний имеет максимальное значение при частоте , близкой к собственной частоте колебаний системы, называемыми амплитудой резонанса и резонансной частотой, равными

, .

Частота находится из условия минимума подкоренной функции в зависимости .

Если на графике АЧХ провести на уровне прямую, параллельную оси частот, то она пересечет резонансную кривую в точках и , являющихся решением уравнения . Расстояние между этими точками называют шириной резонансной кривой (рис.77).

Рис.77

Если параметры и (или и ) определены по АЧХ колебательной системы, то можно определить ее добротность

В опыте можно строить как АЧХ колебательной системы , так и зависимость , где – интенсивность колебаний, которая характеризует поглощение энергии колебаний колебательной системой, возбуждаемых внешней силой. С учетом и эти зависимости имеют вид

, ,

где , . Полученная зависимость называется функцией Лоренца.

Пример 1. В опыте по АЧХ колебательной системы определена ее резонансная частота и ширина (Гц) на уровне . Найти время затухания колебаний, возбуждаемых в системе периодической силой, логарифмический декремент затухания и добротность колебательной системы.

Дано: (Гц). Найти:

Решение: Если колебания возбуждаются периодической силой, то ширина резонансной кривой на уровне равна . Откуда время затухания возбуждаемых колебаний равно . Ответ: , , .