Глава 2. Определенный интеграл

Понятие определенного интеграла и его свойства

Пусть на отрезке задана функция y=f(x). Разобьем отрезок на n элементарных отрезков точками . На каждом отрезке разбиения выберем некоторую точку и положим , где . Сумму вида

будем называть интегральной суммой для функции y=f(x) на . Очевидно, что интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка точками , так и от выбора точек на каждом из отрезков разбиения , .

 

Если существует предел , не зависящий от способа разбиения отрезка и выбора точек , то этот предел будем называть определённым интегралом функции f(x) на отрезке и обозначать символом т.е.

Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке . При этом f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, а числа a и b – пределами интегрирования (a – нижний предел, b – верхний предел), а сумма – интегральной суммой.

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Свойства определённого интеграла

1.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла:

3. Определённый интеграл от суммы двух функций равен сумме определённых интегралов от этих функций:

4. При перестановке пределов интегрирования определённый интеграл меняет знак на противоположный:

5. Интеграл по отрезку равен сумме интегралов по его частям:

где a<c<b.

Формула Ньютона-Лейбница

Если функция f(x) непрерывна на отрезке и F(x) – первообразная функции f(x) на этом отрезке, то:

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

При вычислении интегралов ее часто записывают в виде

Пример.

=

Геометрические приложения определённого интеграла

Вычисления площадей плоских фигур

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке . Если при этом f(x) на этом отрезке, то площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=f(x), y=0, x=a, x=b, выразится с помощью интеграла:

Замечания.

1. Если же на , то – f(х) на этом отрезке. Поэтому площадь S соответствующей криволинейной трапеции находится по формуле:

или

Наконец, если линия y=f(x) пересекает ось Ох, то отрезок надо разбить на части, в пределах которых f(x) не меняет знака, и к каждой части применить ту из формул, которая ей соответствует.

2. Площадь криволинейной фигуры, ограниченной сверху графиком функции y₂=f₂(x), снизу – графиком функции y₁=f₁(x), слева и справа прямыми x=a, x=b, вычисляется по формуле:

 

3. Площадь криволинейной фигуры, ограниченной справа графиком функции x₂=j₂(y), слева – графиком функции x₁=j₁(y), снизу и сверху прямыми y=c, y=d, вычисляется по формуле:

Пример. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции y = sin x и осью абсцисс при условии .

Решение:

Разобьём отрезок на два отрезка: и . На первом из них sin x , на втором sin x . Тогда, используя формулы, находим искомую площадь:

Примеры решения типовых задач

№1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Решение:

1. Найдем пределы интегрирования, в качестве и возьмем абсциссы точек пересечения данных линий.

Для их нахождения решим систему уравнений:

 

 

 

 

;

;

,

 

2. Определим, какой график расположен выше. Для этого построим заданные линии. Графиком функции является парабола. Найдем координаты вершины параболы:

, .

Найдем точку пересечения параболы с осями координат:

, , и .

, .

Получили две точки пересечения с осью : и .

Графиком функции является прямая линия, для построения которой достаточно взять две точки.

Из рисунка видно, что график функции находится выше графика функции , следовательно, выполняется условие .

Применяя формулу (2), найдем площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:

(кв.ед.)

№2. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой , прямыми , и осью Оу.

Решение: , , . Тогда .