Контрольный тест после изучения раздела I « Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения»

1). Вставить пропущенное слово: функция называется первообразной для функции на множестве , если ……………… этой функции и дифференциал равны соответственно и , то есть и .

2). Что такое неопределенный интеграл функции?

1. Совокупность всех первообразных функций;

2.сумма всех значений функции;

3. произведение функции на ее производную;

4. квадрат дифференциала.

3). Как называется интеграл один из пределов который бесконечен?

1. неопределенный; 2. собственный;

3. несобственный; 4. замечательный.

4). Выберите правильный ответ:

Геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что определенный интеграл равен:

1. мгновенной скорости движения тела;

2. длине дуги в прямоугольных координатах;

3. объему тела вращения;

4. площади соответствующей криволинейной трапеции.

5) Среди приведенных ниже высказываний найдите ошибочные:

1. Интеграл произведения нескольких функций есть произведение интегралов от этих функций;

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная;

3. Определенный интеграл можно вычислить с помощью формулы Ньютона-Лейбница;

4. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования.

6). Интеграл вычисляется с помощью замены

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

7). Найти первообразную функции , график которой проходит через точку

8). Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=х²–2х+1, у =2.

1). 2). 3). 4)

9). Интеграл вида: вычисляется по формуле интегрирования по частям, если f(x) равно:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

10). Найти первообразную функции f(x)=3x²–1, график которой проходит через точку M(0;2):

1). F(x) = x³ – x + 2; 2). f `(x) = x³ – x + 2;

3). F(x) = x³ – x + C; 4 ) f `(x) = x³ – x + C.

11). Определить тип дифференциального уравнения

1. Линейное; 2. Бернулли; 3. Однородное; 4. С разделяющимися переменными

12). Укажите общее решение дифференциального уравнения

; ; ; .

13). Дано линейное однородное дифференциальное уравнение Найти его общее решение.

; ; ; .

14). Дифференциальным уравнением называется любое уравнение, содержащее …………, искомую функцию и ее производные любых порядков.

1. Независимую переменную; 2. Зависимую переменную;

3. Первообразную функции; 4. Неизвестный параметр.

15). Линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:

1. 2. 3. 4. .

16). Если характеристическое уравнение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет один корень (два совпавших корня), то общее решение данного уравнения имеет вид:

1). 2) 3) 4). .

17). Укажите тип дифференциального уравнения:

1. С разделяющимися переменными; 2. Однородное; 3. Линейное.

18). Дано линейное однородное дифференциальное уравнение . Найти его общее решение.

РАЗДЕЛ II. РЯДЫ

Глава 4. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Основные понятия. Сходимость ряда. Необходимый признак сходимости

Определение. Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел , соединенных знаком сложения, то есть

(13.1)

где числа называются членами ряда, - общим членом ряда.

Ряд (13.1) считается заданным, если известен его общий член .

Пример.

1)

2)

3)

Ряд можно задать с помощью общего члена, например, определяет следующий ряд:

Определение. Частичной суммой числового ряда называетсясуммаего первых n членов,

Определение. Суммой числового ряда S называется предел последовательности его частичных сумм, если этот предел существует

,

причем ряд называется сходящимся, в противном случае, если же не существует, или то ряд называется расходящимся.

Пример. Исследовать на сходимость ряды

а).

б).

Решение:

а). Рассмотрим ряд . Найдем его частичные суммы Последовательность его частичных сумм 1,0,1,0.1,0... не имеет предела, следовательно ряд расходится.

б). Рассмотрим ряд

найдем его частичные суммы:

Так как то рассматриваемый ряд сходится: его сумма равна 1.