Область сходимости степенного ряда

Определение. Функциональным рядом называется выражение:

,

члены которого являются функциями от .

Придавая числовое значение , мы получаем числовой ряд

который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Определение. Множество тех значений , при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.

Ясно, что в области сходимости сумма функционального ряда является некоторой функцией от . Обозначим се через .

Функциональный ряд сходится в точке x₀, если сходится числовой ряд.

Функциональный ряд сходится на интервале J, если он сходится в каждой точке этого интервала.

Специальный класс функциональных рядов составляют так называемые степенные ряды вида

= ,

где -последовательность действительных чисел, называют коэффициентами ряда.

Выясним, какой вид имеет «область сходимости» степенного ряда, тоесть множество тех значений переменной, для которых ряд сходится.

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится и притом абсолютно в интервале , то есть при всех значениях , удовлетворяющих условию. .

Следствие. Если степенной ряд расходится при некотором значении , то он расходится и при всех значениях .

Любой степенной ряд сходится при значении . Естьстепенныеряды, которые сходятся только при и расходятся приостальныхзначениях .

Область сходимости может состоять из всех точекоси Ох, другимисловами, ряд может сходится при всех .

Пример. Исследовать сходимость ряда .

Решение:

Ряд представляет геометрическую прогрессию со знаменателем , сходится при и расходитсяпри .

Из теоремы Абеля и ее следствия получаем, что все точки сходимости расположены от начала координат не дальше, чем любая из точек расходимости. Совершенно ясно, что точки сходимости будут целиком заполнять некоторый интервал с центром в начале координат.

Таким образом, можно сказать, что для каждого степенного ряда, имеющего как точки сходимости, так и точки расходимости, существует такое положительное число , что для всех , по модулю меньших , ряд абсолютно сходится, а для всех , по модулю больших , ряд расходится.

Что касается значений здесь могут быть различные возможности: ряд может сходится в обеих точках, или только в одной из них, или ни в одной. При этом ряд может сходиться как абсолютно, так и условно.

Определение. Радиусом сходимостистепенного ряда называетсятакое число , что для всех , , степенной ряд сходится, а для всех , расходится. Интервал называется интервалом сходимости.

Условимся для рядов, расходящихся при всех , кроме . считать , а для рядов, сходящихся при всех , считать .

Как найти радиус сходимости?

Если все коэффициенты степенного ряда, начиная с некоторого, отличны от нуля, то его радиус сходимости равен пределу при отношения абсолютных величин коэффициентов общего и следующего за ним членов ряда.

Составим ряд из абсолютных величин членов ряда

Найдем отношение для этого ряда:

а затем предел его при :

Здесь множитель вынесен за знак предела, как не зависящий от и введено обозначение

,

если этот предел существует и не равен нулю. Согласно признаку Даламбера, ряд сходится, если ,. откуда . Отсюда следует, что ряд сходится, и притом абсолютно, при значениях .

Согласно томуже признаку Даламбера, ряд расходится, если или . Однако в этом случае из признака Даламбера следует, что члены ряда не стремятся к нулю. Тогда при не стремятся к нулю и члены ряда, а потому и он расходится при значениях . Следовательно, согласно определению, число – радиус сходимости степенного ряда. из соотношения получим

Пример. Найти радиус сходимости рядов:

а). б). в).

Решение:

а).

б).

Найдем отношение

т. е. ряд сходится только при и расходится при остальных значениях .

в).

Здесь

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

При имеем ряд он сходится по теореме Лейбница.

При имеем ряд , который расходится как произведение расходящегося гармонического ряда на -1. Следовательно; областью сходимости служит полуинтервал .

Пример. Найти область сходимости степенного ряда

Решение:

Найдем радиус сходимости ряда

Исследуем сходимость ряда при значениях . Подставив их в данный ряд соответственно получим

Оба ряда расходятся, так как не выполняется необходимое условие сходимости (их общие члены не стремятся к нулю при ). На обоих концах интервала сходимости данный ряд расходится а область его сходимости

 

Замечание. Формула радиуса сходимости степенного ряда получена в предположении, что все коэффициенты членов ряда начиная с некоторого, отличны от нуля. Применение формулы допустимо только в этих случаях. Если это условие нарушается, то радиус сходимости степенного ряда следует искать или с помощью признаков Даламбера. Коши, или же сделав замену переменной, преобразованием ряда к виду в котором указанное условие выполняется.

Свойства степенных рядов

Рассмотрим степенной ряд имеющий радиус сходимости ( может равняться ). Тогда каждому значению из интервала сходимости соответствует некоторая сумма ряда. Следовательно, сумма степенного ряда есть функция от на интервале сходимости. Обозначим ее через . Тогда можно записать равенство понимая его в том смысле, что сумма ряда в каждой точке из интервала сходимости равна значению функции в этой точке. В этом же смысле будем говорить, что ряд сходится к функции на интервале сходимости. Вне интервала сходимости равенство не имеет смысла.

Для степенных рядов справедливы следующие утверждения:

1) Степенной ряд в интервале его сходимости можно почленно дифференцировать неограниченное число раз причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд а суммы их соответственно равны .

2) Степенной ряд можно неограниченное число раз почленно интегрировать в пределах от 0 до , если , причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд, а суммы их соответственно равны