Расчет электродинамических усилий с использованием закона Био-Савара-Лапласа

 

Здесь рассматриваются задачи на вычисление электродинамических усилий на прямолинейные участки проводников как с учетом влияния размеров поперечного сечения, так и без него.

В ряде случаев электродинамические усилия довольно легко можно вычислить, используя закон Био-Савара-Лапласа для определения значений и направления магнитной индукции. При этом используются следующие формулы и соотношения.

В соответствии с формулой Ампера на элементарный проводник длиной d l м, с током i, А, находящийся в магнитном поле с индукцией B, Тл, созданной другим проводником, действует усилие

d P = id lB;     dP = iBdl sinb,

где b - угол между векторами элемента d l и индукции B, измеряемый по кратчайшему расстоянию между ними.

За направление d l принимается направление тока в элементе. Направление индукции B, создаваемой другим проводником, определяется по правилу буравчика, а направление усилия – по правилу левой руки.

Для определения полного электродинамического усилия, действующего на проводник длиной l, необходимо просуммировать усилия, действующие на все его элементы

              (1.1)

В случае произвольного расположения проводников в одной плоскости b=90° и (1.1) упрощается:

Р =                                     (1.2)

Описанный метод рекомендуется применять тогда, когда индукцию в любой точке проводника можно найти аналитически, используя закон Био-Савара-Лапласа.

Согласно закону Био-Савара-Лапласа элементарная индукция от элемента тока i₁dy в месте расположения элемента dx

dB = dm₀H = sin a,                (1.3)

где m₀ – магнитная постоянная, 4p·10^-7 Гн/м; a - угол между током i₁ и лучом r, проведенным от dy к dx.

Полная индукция от проводника l₁ в месте расположения элемента dx

B=  i₁ dy_.                             (1.4)

Усилие взаимодействия между проводником l₁ и элементом dx, если l₁=l₂= l,

Р₁₂ = 10^-7 i₁ i₂ .        (1.5)

Произведение , называемое коэффициентом контура k₁₂, зависит только от размеров проводников и их расположения. Тогда

Р₁₂= 10^-7 k₁₂ i₁ i₂.               (1.6)

Если расстояние между проводниками значительно меньше их длины, то есть а / l << 1, то k можно принять равным 2·l / a (случай бесконечно длинных шин).

 

Задача 1.1.1. Определить электродинамическое усилие, действующее на 10 м прямолинейного бесконечно тонкого уединенного проводника с током к.з. I=50 кА. Проводник находится в поле земли и расположен под углом β=30˚ к плоскости магнитного меридиана. Горизонтальная составляющая напряженности магнитного поля Н = 12,7 А/м, а угол наклонения γ=72˚.

 

Решение.

Действующее на проводник усилие определим из закона Ампера (1.1)

Р = IlВsin β,

где В=μ₀Н; μ₀=4π∙10^-7 Гн/м.

Тогда горизонтальная составляющая индукции земного поля

В_г= 4π∙10^-7∙12,7 =0,16·10^-4 Тл;

вертикальная составляющая

В_в= В_г∙tgγ = 0,16∙10^-4 tg72˚ = 0,49∙10^-4 Тл.

Определим две составляющие силы, действующие на проводник:

от горизонтальной составляющей вектора индукции

Р_г = 0,16∙10^-4∙50∙10³∙10∙0,5 = 4 Н.

и от вертикальной

Р_в = 0,49∙10^-4∙50∙10³∙10 = 24,5 Н.

Суммарное усилие, действующее на проводник,

Р =

Ответ: Р = 24,8 Н.

 

Задача 1.1.2. Определить усилие, действующее на 1 м длины прямолинейного проводника, по которому протекает постоянный ток I=10 кА, если проводник находится в однородном постоянном магнитном поле, магнитная индукция в каждой точке проводника В=0,1 Тл, а угол между вектором индукции и направлением тока β=30˚.

 

Задача 1.1.3. Определить значение электродинамического усилия, с которым притягиваются друг к другу два параллельных круглых, бесконечно длинных проводника, находящиеся друг от друга на расстоянии а = 1м, когда по ним кратковременно протекают токи i₁= 10 кA, i₂ = 20 кА. Диаметры проводников соответственно равны d₁ = 10 мм и d₂ = 20 мм. Расчет усилия провести на длине l= 1 м.

 

Решение

Определим усилие, действующее на 1 м проводника. Поскольку проводники бесконечно длинные, напряженность магнитного поля на оси второго проводника от тока в первом

Н =

Так как диаметры проводников намного меньше, чем расстояние между ними, то расчет можно вести как для бесконечно тонких проводников. Тогда усилие между проводниками в соответствии с формулой (1.1)

Р = Вi₂l sinβ =

где sinβ = 1, так как проводники лежат в одной плоскости; В = μ₀Н; μ₀ = 4π∙10^-7 Гн/м.

Ответ: Р = 40 Н.

 

Задача 1.1.4. Определить величину и направление усилия, действующего между двумя параллельными проводниками длиной l = 4 м, по проводникам, находящимся в воздухе на расстоянии а = 3 м друг от друга, протекают постоянные токи i₁= 10 кA, i₂ = 15 кА.

 

Задача 1.1.5. Определить величину коэффициента контура электродинамических усилий для условия задачи 1.1.4.

Задача 1.1.6. Определить величину коэффициента контура электродинамических усилий для системы двух параллельных проводников длиной l = 10 м, находящихся друг от друга на расстоянии а = 2 м.

 

Задача 1.1.7. Определить величину ЭДУ, возникающего между двумя расположенными параллельно друг другу шинами прямоугольного сечения h x b = 100 х 10 мм на длине l = 2 м. Расстояние между осями шин а = 20 мм, по ним протекает ток к.з. I = 54 кА. Шины находятся в воздухе вдали от ферромагнитных частей, и ток по их сечению распределен равномерно. При решении задачи учесть влияние поперечных размеров на величину электродинамического усилия. Шины расположены широкими сторонами друг к другу.

 

Решение

Величина электродинамического усилия Р=10^-7∙ Для данного случая расположения проводников величина (a-b)/(b+h) = (20-10)/(10+100) = 0,091; b/h=10/100=0,1. Тогда по кривым Двайта [1] коэффициент формы k_ф = 0,44. Следовательно,

Р = 10^-7∙54²∙10⁶∙0,44 .

Ответ: Р = 257000 Н.