обозначение кристаллических многогранников

 

Существует несколько номенклатур для обозначения симметрии кристаллов. Мы рассмотрим три из них:

- кристаллографическая (по Бравэ);

- международная (интернациональная);

- по Шенфлису.

Обозначение видов симметрии по номенклатуре Бравэ составляется следующим образом: записывается весь набор элементов симметрии, который реализуется в данном кристалле (см. табл.1), сначала записываются оси симметрии начиная с наибольшего порядка, затем плоскости симметрии в конце отмечается наличие центра симметрии. Если одинаковых элементов

симметрии несколько, то их количество ставится перед обозначением этого элемента арабской цифрой.

Например: 3L₄4L₃6L₂9PC – в кристалле есть 3 поворотные оси симметрии 4-го порядка, 4 поворотные оси симметрии 3-го порядка, 6 осей 2-го порядка, 9 плоскостей симметрии и центр; аксиально-центральный вид симметрии, кубическая сингония, высшая категория.

Обозначение кристаллов по международной (интернациональной) символике, в этой номенклатуре записываются только основные «порождающие» элементы симметрии, а остальные «порожденные», которые можно с помощью теорем о сложении и сочетании элементов симметрии можно вывести из «порождающих» не записываются. В качестве «порождающих» предпочтение отдается плоскостям. Правила записи международного символа представлены в табл.

 

Таблица 4

Причем используют следующие символы помимо представленных ранее (см.табл.1): , n/m - ось симметрии n-го порядка и перпендикулярная ей плоскость симметрии.

Например: 4/mmm – можно прочитать так: ось 4-го порядка (вдоль Z) и перпендикулярная ей плоскость («порождающие»), дают центр симметрии (теорема 2); mm – плоскость симметрии (в направлении X,Y и по диагонали) вдоль оси 4 («порождающие») – по теореме 4, таких плоскостей четыре, таким образом имеем горизонтальные и вертикальные плоскости (перпендикулярные друг другу), а значит линиями их пересечений (теорема 1) будут оси 2, расположенные перпендикулярно оси 4, значит таких осей 2-го порядка будет 4 (теорема 3), по номенклатуре Бравэ данный вид симметрии записывается так: L₄4L₂4PC.

Обозначение кристаллов по номенклатуре Шенфлиса строится следующим образом табл. Таблица 5,Таблица 6.

 

Таблица 4 – Правила записи международного символа

Сингония	Позиция в символе
	1-я	2-я	3-я
Триклинная	Только один символ, соответствующий любому направлению в кристалле
Моноклинная	Единственная ось 2 или плоскость m в соответствии с правилами установки
Ромбическая	Ось 2 или плоскость m вдоль оси X	Ось 2 или плоскость m вдоль оси Y	Ось 2 или плоскость m вдоль оси Z
Тригональная	Главная ось симметрии	Оси 2 или плоскость m вдоль X, Y, Y'	Диагональные оси 2 или плоскости m
Гексагональная
Тетрагональная		Оси 2 или плоскость m вдоль X, Y
Кубическая	Координатные* оси симметрии	Оси 3	Диагональные* элементы симметрии

Таблица 5 - Обозначение классов (видов) симметрии средней и низшей категорий по Шенфлису

 

 

Таблица 6 – Обозначение классов (видов) симметрии кристаллов высшей категории по Шенфлису

 

Вида симметрии

 

Все 32 вида симметрии с обозначениями по трем известным номенклатурам представлены в табл.Таблица 7,Таблица 8 иТаблица 9.

Можно заметить, что некоторые кристаллы могут быть отнесены одновременно к двум видам (классам) симметрии. Например, инверсионно-примитивный и центральный для триклинной и тригональной сингоний.

Вид симметрии инверсионно-примитивный гексагональной сингонии может быть отнесен к тригональной сингонии. При изображении стереографической проекции инверсионно-планального вида симметрии гексагональной сингонии принято не отмечать существование горизонтальной плоскости симметрии (см. табл.Таблица 8). Существуют сочетания элементов симметрии, которые однозначно (тождественно) заменяются третьим:

- 3 + С º  (ось 3-го порядка и центр симметрии дают ось инверсии 3 го порядка);

- 3 + ^m º  (ось 3-го порядка и перпендикулярная плоскость дают ось инверсии 6 го порядка).

 

Таблица 7 – Виды симметрии кристаллов низшей категории

Сингония

Вид симметрии

Примитивный

Инверсионно-примитивный

Центральный

Аксиальный

Планальный

Инверсионно-планальный

Аксиально-центральный

Триклинная

L1 1 C1

Li1 C

Моноклинная

L2 2 C2

P m C1h, (Cs)

L2PC 2/m C2h

Ромбическая

3L2 22, (222) D2

L22P 2m, (mm2, 2mm) C2v

3L23PC 2/mm, (mmm) D2h

Таблица 8 – Виды симметрии кристаллов средней категории

Cингония

Вид симметрии

Примитивный

Инверсионно-примитивный

Центральный

Аксиальный

Планальный

Инверсионно-планальный

Аксиально-центральный

Тригональная

L3 3 C3

Li3 C , S3

Li3 C , S3

L33L2 32 D3

Li33L23P m D3d

Тетрагональная

L4 4 C4

Li4 C , S4

L4PC 4/m C4h

L44L2 42 D4

L44P 4m C4v

Li42L22P m D2d

L44L24PC 4/mm (4/mmm) D4h

Гексагональная

L6 6 C6

L3P C3h

L6PC 6/m C6h

L66L2 62, (622) D6

L66P 6m, (6mm) C6v

Li63L23P 2m, ( m2) D3h

L66L26PC 6/mm, (6/mmm) D6h

Таблица 9 – Виды симметрии кристаллов высшей категории (кубическая сингония)

Вид симметрии	Стереографическая проекция	Обозначения
Примитивный		4L33L2 23 T
Инверсионно-примитивный
Центральный		4L3 3L23P m3 Th
Аксиальный		3L44L36L2 432 O
Планальный
Инверсионно-планальный		3Li44L36P 3m Td
Аксиально-центральный		3L44L36L29PC m3m Oh

Простые формы

Простой (идеальной) формой кристалла называется многогранник, все грани которого модно получить из одной грани с помощью преобразований симметрии, свойственных классу симметрии (точечной группе) данного кристалла. Все грани одной простой формы одинаковы по форме и площади, скорости роста граней одной простой формы равны.

Существуют частные и общие простые формы:

- Частная простая форма получается, если исходная грань располагается параллельно или перпендикулярно осям или плоскостям симметрии кристалла или если она образует одинаковые углы с двумя равными элементами симметрии. Частных простых форм в кристалле может быть несколько

- Общая простая форма получается, если исходная грань задана в общем положении, т.е. не на элементах симметрии. Общая простая форма в кристалле может быть одна.

Всего существует 47 простых форм. Сначала рассмотрим простые формы кристаллов низшей и средней категорий:

- Моноэдр (от греч. "моно"- один, "эдра"- грань) – простая форма, представленная одной единственной гранью (рис.Рисунок 6 (1)). Моноэдром является, например, основание пирамиды.

- Пинакоид (от греч."пинакс"- доска) – простая форма, состоящая из двух равных параллельных граней, часто обратно ориентированных (рис.Рисунок 6 (2)).

- Диэдр (от греч."ди" - два, "эдр"- грань) – простая форма, образованная двумя равными пересекающимися (иногда на своем продолжении) гранями, образующими "прямую крышу" (рис.Рисунок 6 (3)). Существует осевой (грани пересекаются по оси 2-го порядка) и плоскостной диэдр (грани связаные между собой плоскостью симметрии).

 

Рисунок 6 – простые формы 1 – моноэдр; 2 – пинакоид; 3 – диэдр

 

- Призма – простая форма, которая состоит из равных граней параллельных какой либо из осей координат (Приложение 1, ряд II). В низшей категории призмы могут быть только ромбическими (в сечении - ромб). Грани призмы кристаллов средней категории параллельны главной оси высшего порядка, а в зависимости от формы сечения, которое при этом получается могут называться:

-   тригональной – если в сечении треугольник (тригон);

- дитригональной * – если в сечении дитригон;

- тетрагональной – в сечении квадрат (тетрагон);

- дитетрагональной ^* – в сечении дитетрагон;

- гексагональной – в сечении шестиугольник (гексагон);

- дигексагональной^* – в сечении дигексагон.

- Пирамида – простая форма состоит из нескольких равных граней, пересекающих координатную ось в одной точке; в зависимости от формы сечения (основания) также могут быть (Приложение 1, ряд III):

- ромбической – в сечении ромб;

- тригональной – если в сечении треугольник (тригон);

- дитригональной – если в сечении дитригон;

- тетрагональной – в сечении квадрат (тетрагон);

- дитетрагональной – в сечении дитетрагон;

- гексагональной – в сечении шестиугольник (гексагон);

- дигексагональной – в сечении дигексагон.

- Бипирамида – простая форма, которую можно представить как удвоенную пирамиду, состоит из нескольких граней, пересекающих координатную ось в двух точках, реализуется в видах симметрии, которые имеют горизонтальную плоскость симметрии (Приложение 1, ряд IV). Бипирамиды, как призмы и пирамиды могут быть ромбическими, тригональными, дитригональными, тетрагональными, дитетрагональными, гексагональными и дигексагональными.

- Тетраэдр – простая форма, грани которой имеют форму треугольников и замыкают пространство, пересекают координатную ось в двух точках. Если грани в форме косоугольных треугольников, то тетраэдр ромбический (низшая категория) рис.Рисунок 7,а, если в форме равнобедренных – то тетраэдр тетрагональный (средняя категория, тетрагональная сингония) рис.Рисунок 7,б, если грани – равносторонние треугольники – тетраэдр (высшая категория).

	б
а

 

Рисунок 7 – Простая форма – тетраэдр, а – ромбический, б – тетрагональный

 

- Ромбоэдр – простая форма, состоящая из 6 граней, пересекающих главную ось в двух точках. Грани имеют форму ромба, три верхние и три нижние, причем нижние грани расположены симметрично между двумя верхними (рис.

- Рисунок 8,а).

- Скаленоэдр – простая форма, грани которой имеют форму неравносторонних треугольников, пересекают главную ось в двух точках, пара нижних граней расположены симметрично между двумя парами верхних. Скаленоэдры могут быть тригональными (рис.

- Рисунок 8 ,б) и тетрагональными (рис.

-Рисунок 8 ,в).

 

а

б

в

 

Рисунок 8 – Простые формы средней категории: а – ромбоэдр, б – тригональный скаленоэдр, тетрагональный скаленоэдр

 

- Трапецоэдр – простая форма, грани которой имеют форму четырехугольника с двумя равными смежными сторонами, пересекают главную ось в двух точках (рис.Рисунок 9). Трапецоэдры могут быть тригональными (а,б), тетрагональными (в,г) и гексагональными (д,е), а также левыми и правыми.

левый а

правый б

правый в

левый г

правый д

левый е

 

Рисунок 9 – Простые формы средней категории. Трапецоэдры: а, б – тригональный, в,г - тетрагональный, д,е – гексагональный

 

. В кристаллах кубической сингонии описанные выше простые формы не могут присутствовать. Всего имеется 15 простых форм, которые принадлежат только кристаллам кубической сингонии. Мы рассмотрим пять главных, а остальные являются производными от них. В высшей категории основные простые формы куб (гексаэдр), октаэдр и тетраэдр рис.Рисунок 10 и ромбододекаэдр и пентагондодекаэдр рис.Рисунок 11. Остальные можно получить из основных удвоением, утроением и ушестирением их граней.

 

Рисунок 10 – Основные простые формы кубической сингонии

 

Рисунок 11 - Основные простые формы кристаллов высшей категории

 

- Кубический тетраэдр - простая форма, образованная четырьмя равными равносторонними треугольными гранями, перпендикулярными осям 3-го порядка. «Надстраивая» на гранях тетраэдра по три треугольника, четырехугольника, пятиугольника получаем тригонтритетраэдр, тетрагонтритетраэдр и пентагонтритетраэдр соответственно. Если на грани тетраэдра надстроить шесть треугольников, то получим гексатетраэдр.

- Октаэдр (от греч."окта"- восемь,"эдр"- грань) - простая форма, образованная восемью равными равносторонними треугольными попарно параллельными гранями, перпендикулярными осям третьего порядка (L₃). Надстраивая на гранях октаэдра, аналогично тетраэдру по три треугольника, четырех- или пятиугольника получим следующие простые формы: тригонтриоктаэдр, тетрагонтриоктаэдр или пентагонтриоктаэдр и гексаоктаэдр (шесть треугольников на каждой грани октаэдра).

- Куб (гексаэдр) - простая форма, образованная шестью равными попарно параллельными квадратными гранями, образующими друг с другом углы 90^о. Грани куба перпендикулярны осям четвертого порядка (L₄). Надстраивая на гранях куба правильные четырехскатные крыши получим тетрагексаэдр,

- Ромбододекаэдр (от греч."додека" - двенадцать) - простая форма, образованная 12 равными гранями, имеющими форму ромба. Ромбододекаэдр можно «получить» из куба притупляя его ребра.

- Пентагондодекаэдр (от греч."пента"- пять) - закрытая простая форма, которая состоит из 12 равных граней, имеющих форму неправильных пятиугольников. Удваивая каждую грань пентагондодекаэдра получим дидодекаэдр.  Остальные простые формы кристаллов высшей категории приведены в Приложение 2.

В кристалле могут присутствовать одна или несколько простых форм. Сочетание нескольких простых форм называется комбинацией. Простые формы могут быть закрытыми и открытыми:

- Закрытыми называют такие формы, грани которых полностью замыкают заключенное между ними пространство, как, например, тетраэдры, дипирамиды, ромбоэдры, трапецоэдры, скаленоэдры, все простые формы высшей категории;

- Открытые простые формы (например, моноэдр, пинакоид, призма, пирамида и т.д.) не замыкают пространство и не могут существовать самостоятельно, а только в комбинациях. Например, призма + пинакоид.

Рекомендуемая литература:

 

1. Шаскольская М.П. Кристаллография. М., 1984.

2. Бокий Г.Б. Кристаллохимия. М., 1971.

Приложение 1

 

Приложение 2

[1] ГАЮИ (Аюи) Рене Жюст (1743-1822), французский кристаллограф и минералог, иностранный почетный член Петербургской АН (1806). Открыл один из основных законов кристаллографии (закон Гаюи).

 

 

[2] ШУБНИКОВ Алексей Васильевич (1887-1970), российский физик, академик АН СССР (1953), Герой Социалистического Труда (1967). Основатель и 1-й директор Института кристаллографии АН СССР (1944-62, ныне имени Шубникова). Труды по симметрии, физике и росту кристаллов. Вывел 58 точечных кристаллографических групп антисимметрии (т. н. шубниковские группы). Под руководством Шубникова организовано производство синтетических кристаллов. Государственная премия СССР (1947, 1950)

[3] БЕЛОВ Николай Васильевич (1891-1982), кристаллограф и геохимик, академик АН СССР (1953), Герой Социалистического Труда (1969). Фундаментальные труды по теории плотнейшей упаковки атомов в кристаллах, кристаллохимии силикатов, методам расшифровки структур минералов; под руководством Белова выяснена структура св. 100 силикатов и их аналогов. Ленинская премия (1974), Государственная премия СССР (1952), Золотая медаль им. Ломоносова АН СССР (1965)

[4] СТЕНОН (Стено, Стенсен) (Steno, Steensen) Николай (Николаус, Нильс) (1638-86), датский естествоиспытатель, один из основоположников геотектоники. Открыл проток околоушной слюнной железы (1660), описал строение мышц.

 

[5] ЛАУЭ (Laue) Макс фон (1879-1960), немецкий физик, иностранный член-корреспондент РАН (1924) и иностранный почетный член РАН АН СССР (1929). Разработал теорию дифракции рентгеновских лучей на кристаллах и предложил метод, с помощью которого она была открыта (1912). Труды по сверхпроводимости, теории относительности квантовой теории, атомной физике, истории физики. Нобелевская премия (1914).

[6] БРАВЭ (Bravais) Огюст (1811-63), французский кристаллограф. Положил начало геометрической теории пространственных решеток кристаллов (решетки Бравэ).

* - такие расположения осей симметрии не реализуются ни в одном виде симметрии

[8] Более подробно о стереографических проекциях см. §5 М.П.Шаскольская Кристаллография учеб.пособие для втузов – М.:Высш.шк., 1984.

[9] Единичное (особое) направление – это единственное, неповторяющееся в многограннике направление.

* подробнее доказательство см. §4 Шаскольская М.П. Кристаллография

[10] ВЕЙС Пьер Эрнест (1865-1940), французский физик. В 1907 высказал гипотезу о существовании в ферромагнетиках внутреннего магнитного поля (молекулярное поле Вейса) и областей самопроизвольной намагниченности. Один из авторов закона Кюри — Вейса. Открыл магнетокалорический эффект.

* координатные, элементы симметрии, проходящие вдоль координатных плоскостей, диагональные - по биссектрисам углов между ними.

* дитригональные, дитетрагональные и дигексагональныепростые формы реализуюьмя только в планальных видах симметрии, в которых есть диагональные плоскости.