Тема 2. Средние величины и показатели вариации.

Средняя является обобщающим показателем, с помощью которого можно охарактеризовать совокупность по количественно варьирующему признаку. Она отражает то общее, что складывается во всей совокупности и незаметно в отдельном объекте. Благодаря этому средняя получает большое значение для выявления закономерностей, присущих массовым явлениям.

Для осреднения различных признаков используются разные виды средних величин. Выбор вида средней осуществляется индивидуально в каждом случае и зависит от наличия исходных данных и вида признака.

Каждый вид средней имеет две формы: простую и взвешенную. Простая средняя используется в тех случаях, когда каждое значение признака встречается только один раз. Если некоторые значения признака повторяются неоднократно, т.е. данные сгруппированы, для расчета средней используются взвешенные формы.

Основные обозначения:

- среднее значение признака;

х_i - индивидуальные значения осредняемого признака;

n - количество единиц совокупности;

f_i - частота (вес) индивидуальных значений осредняемого признака;

w_i = x_if_i - произведение индивидуального значения признака и его частоты.

Таблица 2. Виды и формы средних величин

Виды средних величин	Простая	Взвешенная
1	2	4
1. Арифме­тическая	(8)	(9)
2. Гармони­ческая	(10)	(11)
3. Квадра­тическая	(12)	(13)
4. Геомет­рическая	(14)	(15)
5. Хроноло­гическая	(16)	…

Чаще всего используются простая и взвешенная арифметическая средняя.

В том случае, когда нет данных о частотах отдельных признаков, но имеются сведения о произведении индивидуального значения признака на его частоту, среднюю арифметическую можно заменить средней гармонической. При этом гармоническая простая используется только тогда, когда равны объемы совокупностей.

Средняя квадратическая, простая и взвешенная, используется, как правило, для расчета средних отклонений.

Геометрическая средняя используется для осреднения таких признаков, для которых характерна мультипликативная зависимость. Чаще всего гармоническая средняя используется для расчета средних темпов роста и средних индексов.

Хронологическая средняя применяется для расчетов средних уровней в моментных рядах динамики.

При расчете среднего значения признака в интервальных вариационных рядах используется средняя арифметическая взвешенная, определяемая по формуле (9) (табл.2). В этом случае за принимается середина каждого интервала, определяемая как полусумма максимального и минимального значения признака в группе.

Например, если группировочный интервал 8-10, за будет принято число 9, так как полусумма максимального и минимального значения признака в группе будет определена следующим образом:

При наличии открытых интервалов, у которых определена только одна граница – верхняя или нижняя - открытый интервал принимается равным по величине смежному с ним закрытому интервалу. Например, имеется интервальный ряд распределения:

У первой группы имеется открытый интервал, у которого указана только верхняя граница. В нашем случае, он принимается равным по величине второму интервалу, т. е. считается, что у первой группы объем продаж составит от 60 до 100 тыс. руб. Серединой интервала в данном случае будет объем продаж, равный 80 тыс. руб. ().

Открытый интервал у последней группы принимается равным по величине предшествующему интервалу, т. е. примет значения от 180 до 220 тыс. руб., а середина интервала будет рассчитана ()

Средний объем продаж по данной совокупности определим так:

Мода и медиана

Помимо средних величин, в статистическом анализе используются и структурные средние: мода и медиана.