Математическая модель кинетики ионных токов при формировании потенциала действия.

Основные положения модели: процесс открытия канала рассматриваем как некоторое событие, следующее за процессом активации. Каков бы ни был механизм активации канала при деполяризации мембраны, его можно рассматривать как вероятностный процесс, описываемый уравнением кинетики первого порядка:

Неактивный канал¾¾^am® Активный канал;

b

Неактивный канал¾¾ Активированный канал;

То есть если c ₀  и с общее число каналов и число активированных каналов соответственно, то можно записать кинетическое уравнение первого порядка в соответствии с кинетикой каналов:

 (4)

Введём долю активных каналов , тогда уравнение (4) будет иметь вид:

 (5)

Уравнение (5) – дифференциальное уравнение по времени, решая которое получаем:

(1-exp[-()t]); (6)

Где m=0 при t=0. При t® ¥, exp[-()t] ®0, следовательно:

Характеристическое время установление равновесия активного канала:

;

Тогда уравнение (6) приобретает вид:

. (7)

График функции (7) m(t), даёт временную зависимость без точки перегиба, при этом наилучшее соответствие теории экспериментальным данным для Na тока достигается в следующем случае:

, (8)

Где - плотность натриевого тока при активации части каналов, -плотность тока, если активированы все каналы. Показатель степени 3 (в уравнении (8)) – эмпирический, однако существует гипотеза “трёх замков”, которое нужно открыть для активации Na-каналов. Смысл гипотезы в том, что активация есть результат нескольких событий, каждое из которых происходит со своей вероятностью. Если они независимы, то общая вероятность есть произведение вероятностей всех событий. Это имеют в виду, говоря об открытии “трёх замков” для активных каналов.
Очевидно, что уравнение (6) описывает начальный участок кривой Na тока, то есть только процесс активации.

 

Инактивация Na каналов.

Инактивация рассматривается как мономолекулярная реакция, которой подвергнуты в равной степени как открывающие, так и закрывающие каналы. Доля неинактивированных каналов принимается равной h, а инактивированных — (1-h). Процесс инактивации соответствует обратимой реакции:

h ¾¾^bh ®1 - h

a

h ¾¾ 1 -  h

 

Тогда по аналогии с уравнением (6) имеем:

; (9)

; .

Начальный Na ток будет описываться следующим уравнением (аналогичным уравнению (8)):

; (10)

То есть для того, чтобы канал работал, нужно что бы он был открытым () и он не был инактивирован (h(t)).

Подобрав по экспериментальным данным , Ходжкин и Хаксли получили уравнение кинетики тока Na на его начальном участке (соответствует ситуации (а) и (б) на рисунке 10).

Аналогично рассуждают, когда говорят о  каналах, с той лишь разницей, что они инактивируются медленно и на этапе формирования потенциала действия можно рассмотреть только процесс активации  канала. Это привело к тому, что выражение для  проницаемости было получено в следующем виде:

; (11)

; ;

Показатель степени 4, в уравнении (12), также является эмпирическим.

Приведём выражение для математического описания проницаемости мембраны для ионов Na и K. Это позволяет записать выражение для общего трансмембранного тока при формировании потенциала действия:

; (13)

Где –ёмкостной ток перезарядки мембраны;  ёмкость мембраны в невозбуждённом состоянии;  текущий потенциал покоя;  равновесный Нернстовский потенциал ;  пассивные токи утечки для всех типов ионов.

Вся совокупность уравнений, описывающих ионные токи через возбудимые мембраны при изменении потенциала на величину V, называется уравнениями Ходжкина–Хаксли. К ним относятся и уравнения (4)–(13). Использование этих уравнений позволяет математически описать не только ионные токи при фиксированном потенциале, но и изменения потенциала в функционирующем нервном волокне.

 

Заключение.

В данной работе мы ознакомились с методами исследования потенциала действия и собственно с его изучением. Благодаря микроэлектродному методу, мы смогли померить потенциал действия, а метод меченных атомов помог нам подтвердить важность роли иона Na в формировании потенциала действия (максимум потенциала действия на графиках всегда превышает 0, смотри рисунок 4). Это все привело к открытиям Ходжкина-Хаксли, которые создали гипотезу, а на сегодняшний день – принятую теорию о формировании потенциала действия. Так как в потенциале действия большую и важную роль играют ионы натрия, чья концентрация при возбуждении возрастает в 500 раз (смотри раздел 3.1 на странице 7). Мы смогли описать работу Na и K каналов, участвующих в управлении потенциала действия, то есть мы теперь понимаем работу любого ионного канала. Бесспорно, воротная модель является хорошим представлением о работе каналов (и является принятой в научном мировом сообществе), управляющих поступлением ионов в клетку, однако сейчас нет таких микроскопов или систем, способных разглядеть канал, поэтому принцип работы канала и ворот (на рисунках 10 и 9) являются лишь примерным нашим представлением, так же как и структурно-функциональная схема канала (смотри рисунок 8). Ещё одной важной проблемой становится тот факт, что мы всегда рассматриваем клетку в как правило не живой среде, то есть создаётся ситуация, чем-то отличающаяся от реальных условий и процессов, протекающих в теле, тем более, большую часть опытов очень сложно провести на живом человеке (а потенциал действия есть только у живого организма).

Очевидно, что потенциал действия задействован в нервной проводимости и возбуждении, а значит все наши органы чувств и движения конечностей зависят от потенциала действия. Изучение формирования и передачи потенциала действия может вернуть парализованному человеку возможность двигаться, осязать на ощупь, вернёт чувствительность в конечностях. Также одна элементарная клетка является очень мощным (пусть и частотно уступающим, но далеко обходящей по мощности) вычислительным аппаратом, возможно, что исследование потенциала действия поможет нам в развитии вычислительной техники (“делай по аналогии”).

 

 

Список литературы:

 

1. Либерман, Е.А. Генераторы и насосы клетки [Текст]: учеб. для вузов — Москва: Знание, 1965.

2. Косицкий, Г.И. Физиология человека [Текст]: учеб. литература для студентов мед. Институтов — Москва: Медицина, 1985.

3. Осипов, А.Н.// Электронные лекции МГУ — (http://fumo.phys.msu.ru/ArxivOldSite_UMS_Physics/med/cell/cel_10pd.pdf)

4. Огурцов, А.Н. Механизмы мембранных процессов [Текст]: учебно-методическое пособие по курсу “Биологические мембраны” — Харьков: НТУ “ХПИ”, 2006.