Уравнение Бернулли для элементарной струйки невязкого газа.

При выводе уравнения Бернулли для идеальной жидкости было получено:

Идеальная жидкость – несжимаемая среда (ρ = const), поэтому связь между P и ρ здесь отсутствует. Для газа эти величины взаимосвязаны, причем характер этой связи зависит от термодинамики процесса (изотермический, политропический или адиабатический). Для наиболее распространенного в технике политропического процесса выполняется соотношение:

p ∙ v ^m  = const

 

Здесь v – удельный объем (в гидравлике вместо v чаще используется ρ = 1/v), m – показатель политропы. Следовательно,

p / ρ^m = const = С;  p = С · ρ^m;   После дифференцирования:

;    ;

 

                           

 

Таким образом, учет сжимаемости газа приводит к появлению поправочного коэффициента .

Второй фактор, который необходимо учитывать в уравнении Бернулли, записанного для газа – весьма малую плотность газа (следовательно, малое влияние силы тяжести и слагаемого gdz). В конечном итоге, интегрируя первоначальное уравнение и деля обе его части на g, получаем:

  

Примеры использования уравнения Бернулли

 в технике

1. Струйный насос

Рассмотрим принципиальную схему струйного насоса (рис. 14). Здесь во входное сопло подается поток вспомогательной  жидкости (обычно вода или водяной пар).

Уравнение Бернулли для этой жидкости:

 

 

причем z₁ = z₂ (т.к. жидкость обычно перемещается горизонтально).

Рис. 14. Принципиальная схема действия струйного насоса:

 

1.Входное коническое

сопло

2.Камера смешения

3.Нагнетательный

патрубок

4.Всасывающий

 трубопровод

5.Питательный

резервуар

 

 

Таким образом, по ходу движения скорость жидкости увеличивается (сечение уменьшается) и увеличивается скоростной напор (кинетическая составляющая полного напора). Поскольку суммарный напор должен быть постоянным, пьезометрический напор (потенциальная составляющая полного напора) будет уменьшаться по ходу движения жидкости по соплу. При этом геометрия сопла должна быть рассчитана таким образом, чтобы давление в сечении 2 – 2 становилось меньше атмосферного. Давление на свободной поверхности в питательном резервуаре равно атмосферному, поэтому транспортируемая жидкость под действием образовавшегося перепада давлений будет подниматься по всасывающему трубопроводу и подсасываться в камеру смешения. Здесь она смешивается со вспомогательной жидкостью и они общим потоком  двигаются в нагнетательный патрубок.

 

2. Дроссельные расходомеры

Примером дроссельного расходомера является расходометр Вентури (рис. 15). Прежде всего с помощью расходомера осуществляется плавное сужение потока. При этом скорость в сечении 2 – 2 увеличивается, а давление уменьшается. В результате здесь, как и для струйного насоса, выполняется:

 

Поскольку z₁ = z₂ (поток горизонтальный), то

 

                                    

 

причем падение давления ∆p_д может быть измерено с помощью дифференциального манометра D.    

 

                           

Рис. 15. Принципиальная схема дроссельного расходомера Вентури

 

    Если к полученному соотношению добавить уравнение неразрывности потока: υ₁S₁ = υ₂S_2., то получается система двух уравнений с двумя неизвестными (υ₁ и υ₂), из которой можно определить υ₁ и найти расход: Q = υ₁· S₁.

Для более точного определения расхода следует использовать уравнение Бернулли, записанное для реальной (вязкой) жидкости.