Гидростатика. Дифференциальные уравнения равновесия и абсолютного покоя

 

Гидростатика - это раздел гидравлики, изучающий закономерности покоя и равновесия жидкостей. Гидростатику можно рассматривать как частный случай гидродинамики при условии, что скорость движения жидкости становится равной нулю. Различают абсолютный и относительный покой жидкости. При абсолютном покое жидкость неподвижна относительно поверхности Земли, при относительном покое (равновесии) – относительно какого–то другого движущегося тела (например, стенок вращающегося  резервуара).

Покоящаяся капельная жидкость по своим свойствам идентична идеальной (практически несжимаема, свойство вязкости в покое не проявляется). Поэтому за основу  вывода дифференциальных уравнений гидростатики (покоя) используем дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости (уравнения Эйлера):

 

                                   →               

 

Скорость и, соответственно, ее проекции υ_x, υ_y, υ_z при покое равны нулю. Отсюда и все левые стороны уравнений становятся равными нулю, а  компоненты ускорения массовых сил X, Y, Z могут быть приравнены соответствующим компонентам силы давления.

Умножим обе части уравнений на dx, dy, и dz, сложим их левые и правые стороны и получим:

 

 

 Для покоящейся жидкости p = p (x, y, z), поэтому выражение в  скобках – полный дифференциал давления. Таким образом, решая относительно dp, получаем следующее дифференциальное уравнение относительного покоя (равновесия):

     

Неподвижность относительно поверхности Земли считается   абсолютным покоем. В этом случае из массовых сил на жидкость действуeт только сила тяжести, поэтому  X = 0;  Y = 0;  Z = - g и дифференциальное уравнение абсолютного покоя приобретает следующий вид:

Основное  уравнение  гидростатики и его следствия.

 Примеры использования закона Паскаля

В технике

 

После интегрирования дифференциального уравнения абсолютного покоя получаем:

 

p + ρgz = const

 Используем полученное уравнение для определения давления в точке А, находящейся внутри покоящейся жидкости (рис. 16). Для этого рассмотрим два сечения покоящейся жидкости – одно на уровне точки А,  второе – на уровне свободной поверхности жидкости в резервуаре. Пусть давление на свободную поверхность равно р_о, а  Н – глубина погружения точки А.  Тогда: 

 

                                р_А + ρg z_A = p ₂ + ρg z ₂

Поскольку  z_A = 0,  z₂ = H,  то после соответствующих преобразований получаем основное уравнение гидростатики:

                         р_А = р₀ + ρ g H

 

где z – высота расположения сечения относительно какой-то горизонтальной поверхности (плоскости сравнения 0 - 0). Второе слагаемое правой части  уравнения часто называют весовым давлением или давлением столба жидкости.

Рис. 16. Иллюстрация к выводу               

          основного уравнения                

          гидростатики

 

Следствия из основного уравнения гидростатики:

 

1. Давление на свободную поверхность жидкости (внешнее давление) передается в любую точку покоящейся жидкости без изменения (закон Паскаля).

2. На одинаковой глубине давления одинаковы (горизонтальная поверхность является плоскостью равного давления).

3. В открытых и закрытых сообщающихся сосудах, заполненных однородной жидкостью и находящихся под одинаковым внешним давлением, уровни жидкости находятся в одной горизонтальной плоскости.

     Покажем их справедливость на примере последнего следствия.

      

  Рис. 17.   Иллюстрация к обоснованию третьего следствия

                 из  основного закона гидростатики

 

Пусть точки А и В лежат в одной горизонтальной плоскости (рис. 17), тогда:            

                                        р_А = р_о + ρ g h ₁

р _B = р_о+ ρ g h ₂

 

Так как р_А = р_B,  то h₁ = h₂, т.е. уровни жидкости также лежат в одной горизонтальной плоскости.

Если жидкости неоднородны  (ρ₁ ≠ ρ₂), то   ρ₁g h ₁ = ρ₂ g h ₂ и

.

 

Примеры использования закона Паскаля в технике.

 

1. Гидравлический домкрат

Гидравлический домкрат - это гидростатическое устройство, которое служит для получения значительной силы, необходимой, например, для подъема кузова тяжелого грузового автомобиля с использованием относительно небольшого усилия руки обслуживающего персонала.

           Рис. 18. Принципиальная схема действия

                           гидравлического домкрата

 

Устройство (рис. 18) состоит из цилиндра 1 с малой площадью сечения S₁, поршня 2, цилиндра 3 с большой площадью сечения S₂, поршня 4 и платформы 5, которая подводится под кузов автомобиля. Усилием Р₁ (например, от руки или ноги) создается давление р на свободную поверхность жидкости под поршнем 2:

  

 

 

 По закону  Паскаля  давление р должно передаваться в любую точку объема жидкости, в том числе и в точки, расположенные на нижней поверхности поршня 4. Сила Р₂, с которой жидкость давит на поршень 4, определяется как:

                                    

Поскольку S₂ >> S₁,  то и сила P₂ >> P₁. Таким образом удается получить существенно большую силу Р₂, которая передается на платформу 5 и через нее на кузов автомобиля. При этом не нарушается закон сохранения энергии, поскольку при передаче из одного цилиндра в другой одинакового объема несжимаемой жидкости (т.е. при ∆h₂∙S₂ = ∆h₁∙S₁, где ∆h₁, ∆h₂ – смещение поршня с соответствующей площадью S₁ и S₂) работа, совершаемая  с участием жидкости (т.е. произведение силы на смещение поршня) в обоих цилиндрах одинакова (P₁∙ ∆h₁ = P₂ ∙ ∆h₂). Соответственно та же работа совершается над объектом, контактирующим с принимающим поршнем  4.  При этом смещение принимающего поршня 4 во столько же раз меньше смещения передающего поршня 2, во сколько раз P₂ > P₁.

2. Гидравлический грузовой аккумулятор

Назначение гидравлического грузового аккумулятора состоит в поддержании определенного постоянного давления в гидросистеме.

Гидравлический грузовой аккумулятор (рис. 19) состоит из цилиндра 1, поршня 2, платформы 3, грузов 4.

С помощью набора грузов G создается требуемое давление на свободной поверхности жидкости в цилиндре 1:    

 

Рис. 19. Принципиальная схема гидравлического                               грузового аккумулятора

 

     По закону Паскаля данное давление будет передаваться в любую точку  гидросистемы. Если потребление жидкости в гидросистеме в данный момент времени меньше, чем производительность насоса, избыток поступает в цилиндр 1, поднимая поршень 2. Если же расход жидкости увеличивается, поршень будет опускаться, вытесняя жидкость из цилиндра. При этом давление в цилиндре, а значит и во всей гидросистеме, будет оставаться постоянным. При необходимости изменения давления  в  гидросистеме  необходимо  изменить вес грузов G.