Расчёт электрических токов методом наложения

Воздействие е₁(t) содержит постоянную составляющую (нулевую гармонику), первую и третью гармоники.

Воздействие е₂(t) содержит постоянную составляющую (нулевую гармонику) и первую гармонику.

Воздействие е₃(t) содержит третью гармонику.

Расчёт по каждой составляющей воздействия проведём отдельно.

1) Рассчитаем токи в ветвях схемы от действия постоянной составляющей ЭДС (нулевой гармоники):

 

Ей соответствует схема замещения (рис.10):

Рис. 10 - Схема для расчёта токов от действия постоянной составляющей

Расчёт произведём методом контурных токов (рис.10).

Составляем систему уравнений:

Полученные контурные уравнения запишем в матричном виде:

Решим систему из двух контурных уравнений, используя метод Крамера: 

.

Найдём определители системы уравнений:

Тогда:

Далее находим реальные токи в ветвях схемы с учётом контурных токов, проходящих в этих ветвях:

Проверка по законам Кирхгофа:

Токи нулевой гармоники найдены верно.

2) Рассчитаем токи в ветвях схемы для первой гармоники:

Ей соответствует схема замещения (рис.11):

Рис. 11 - Схема для расчёта первой гармоники

Рассчитаем без учёта М комплексные сопротивления ветвей и изобразим комплексную схему замещения (рис.12):

Рис. 12 - Комплексная схема замещения

Произведём расчёт методом контурных токов (рис.12).

В результате получим следующие уравнения для контурных токов (согласное включение):

Группируем слагаемые и записываем уравнения в матричном виде:

Решим систему из двух контурных уравнений, используя метод Крамера: 

Найдём определители системы уравнений:

Тогда:

Далее находим реальные токи в ветвях схемы с учётом контурных токов, проходящих в этих ветвях:

Мгновенные значения токов:

3) Рассчитаем токи в ветвях схемы для третьей гармоники (k = 3):

Ей соответствует схема замещения (рис.13):

Рис. 13 - Схема для расчёта третьей гармоники

Рассчитаем без учёта М комплексные сопротивления ветвей и изобразим комплексную схему замещения (рис.14):

Рис. 14 - Комплексная схема замещения

Произведём расчёт методом контурных токов (рис.14).

В результате получим следующие уравнения для контурных токов (согласное включение):

Группируем слагаемые и записываем уравнения в матричном виде:

Решим систему из двух контурных уравнений, используя метод Крамера: 

Найдём определители системы уравнений:

Тогда:

Далее находим реальные токи в ветвях схемы с учётом контурных токов, проходящих в этих ветвях:

Мгновенные значения токов:

Результирующее действие определяем методом наложения мгновенных значений: мгновенное значение тока любой ветви равно сумме мгновенных значений отдельных гармоник:

Действующие значения токов:

Действующие значения ЭДС:

Таким образом, в основе расчёта линейных электрических цепей, в которых действуют периодические негармонические сигналы, лежит принцип суперпозиции. Его суть применительно к негармоническим воздействиям заключается в предварительном разложении негармонических периодических воздействий в ряд Фурье и определении реакции цепи от каждой гармоники входного воздействия в отдельности. Результирующее воздействие находят суммированием полученных частных воздействий.

 

Проверка баланса мощностей

1) Составим баланс мощностей постоянной составляющей (нулевой гармоники):

где Р_ПР(0) – мощность приёмников;

Р_ИСТ(0) – мощность источников.

Допустимая относительная погрешность расчётов:

Как видим, баланс мощностей сходится, значит, расчёт нулевой гармоники произведён верно.

2) Составим баланс мощностей для первой гармоники.

Полная вырабатываемая комплексная мощность всех источников ():

где - сопряжённые значения токов источников.

Суммарная активная мощность источников (Р_ИСТ(1)):

Суммарная активная мощность приёмников ():

Допускается расхождение баланса активных мощностей:

Суммарная реактивная мощность источников (Q _ИСТ(1)):

Суммарная реактивная мощность приёмников (Q _ПР(1)):

где I ₁, I ₃ и и  - действующие значения и фазы (углы) индуктивно связанных токов.

Допускается расхождение баланса активных мощностей:

Так как баланс активных и реактивных мощностей сходится, то расчёт первой гармоники произведён верно.

3) Составим баланс мощностей для третьей гармоники.

Полная вырабатываемая комплексная мощность всех источников ():

где - сопряжённые значения токов источников.

Суммарная активная мощность источников (Р_ИСТ(3)):

Суммарная активная мощность приёмников ():

Допускается расхождение баланса активных мощностей:

Суммарная реактивная мощность источников (Q _ИСТ(3)):

Суммарная реактивная мощность приёмников (Q _ПР(3)):

где I ₁₍₃₎, I ₃₍₃₎ и и  - действующие значения и фазы (углы) индуктивно связанных токов.

Допускается расхождение баланса активных мощностей:

Так как баланс активных и реактивных мощностей сходится, то расчёт третьей гармоники произведён верно.

4) Рассчитаем показатели энергетического процесса в цепи:

Активная мощность цепи равна сумме активных мощностей отдельных гармоник:

Реактивная мощность цепи равна сумме реактивных мощностей отдельных гармоник:

Полная мощность цепи:

В цепях с несинусоидальными источниками ЭДС должно выполняться неравенство:

>

Проверим, выполняется ли данное неравенство:

6105>4099.

Неравенство выполняется.