Понятие о голоморфном решении задачи Коши

 

Напомним сначала определение голоморфной функции.

Функция  называется голоморфной в точке , если она разложима в некоторой окрестности этой точки в степенной ряд по степеням :

 

 (1.1)

 

В этом случае говорят также, что  допускает в области аналитическое представление в виде степенного ряда по степеням .

При этом на  и на представляющий её степенной ряд налагаются в указанной окрестности три условия:  определена, т.е. имеет конечное значение, ряд сходится и его сумма совпадает с .

Рассмотрим примеры голоморфных функций.

Пример 1.

Функции , ,  голоморфны в точке , т.к. известно:

 

, ,

 

Причём ряды справа сходятся при .

Пример 2.

Полином от , , ,  - целые функции. В частности, при  имеем известные разложения:

 

 

Причём ряды справа сходятся при всех .

Пример 3.

Функция является голоморфной в точке , т.к.

 

 

Причём ряд справа сходится в области .

Важным частным случаем голоморфных функций являются функции, для которых представление (1.1) имеет место в окрестности любой точки , а ряд сходится при всех значениях . Такие функции называются целыми. (Пример 2.)

Данное выше определение голоморфности функции  распространяется на случай функции , зависящей от n независимых переменных. Последняя называется голоморфной в точке , если

 

 

Где ряд справа сходится в области  (пример 3.)

Вернёмся к функции , зависящей от одной независимой переменной. Из теории степенных рядов известно, что если  допускает разложение (1.1), то это разложение единственно; причём коэффициенты выражаются через значения  и её производных в точке по известным формулам

 

 

Поэтому разложение (1.1) можно переписать в виде

 

 (1.2)

 

Ряд справа называется рядом Тейлора для функции  в точке .

Таким образом, всякий сходящийся степенной ряд Тейлора для своей суммы, и мы можем говорить, что функция  голоморфна в точке , если она допускает в окрестности этой точки разложение в ряд Тейлора. В частности, функция , для которой имеет место разложение

 

 

голоморфна в точке 0.

Из разложения (1.2) следует, что функция , голоморфная в точке , допускает следующее асимптотическое представление при :

 

 

Где  - бесконечно малая функция при  более высокого порядка малости, чем .

В частности, при  имеем асимптотическое представление

 

 

Отбросив все члены ряда Тейлора (1.2), кроме свободного и члена с первой степенью разности , получаем линеаризацию функции  в точке :

 

 (1.3)

 

Геометрически (рис. 1.1) здесь речь идёт о замене отрезка графика функции  в достаточно малой окрестности точки  отрезком касательной (1.3) к нему в точке ,  Совершаемая при этом погрешность будет иметь порядок  при _, т.е. является бесконечно малой функцией при  более высокого порядка малости, чем .

 

                 

Рис. 1.1                                               Рис. 1.2

 

Обратимся теперь к задаче Коши.

Рассмотрим сначала задачу Коши для уравнения первого порядка в нормальной форме:

 

 (1.4)

 

Говорят, что задача (1.4) имеет решение

 

 (1.5)

 

голоморфное в точке  (т.е. при начальном значении независимой переменной), если функция (1.5) голоморфна в точке , т.е. представима в виде (1.1):

 

Или

 (1.6)

 

(здесь свободный член  есть начальное значение решения (1.5) при ).

Линеаризация решения задачи Коши (1.4) в точке  имеет вид

 

Или

(т.к. ).

 

Рассмотрим пример, в котором решение задачи Коши представимо в виде сходящегося степенного ряда.

Пример 4.

Найти голоморфное решение задачи Коши

 

 (1.7)

 

т.е. нужно найти функцию, которая удовлетворяла бы начальному условию , дифференциальному уравнению легко интегрируется, то мы сначала найдём искомое решение, а потом попытаемся представить его в виде ряда по степеням .

Интегрируя уравнение , имеем

 

 

Удовлетворяя начальному условию , находим, что . Следовательно, искомым решением будет

 

 (1.8)

 

Это решение представимо в окрестности начального значения , т.е. в окрестности нуля, известным степенным рядом, а именно геометрическим рядом:

 

 (1.9)

 

Заметим, что решение (1.8) определено в более широком интервале , так что ряд (1.9) дает аналитическое представление не всего решения (1.8), а лишь сужения его на интервал .

Линеаризацией в точке 0 будет

 

 

(см. рис. 1.2).

Для непосредственного нахождения голоморфного решения поставленной задачи Коши (1.7) можно использовать либо метод последовательного дифференцирования данного дифференциального уравнения, основанный на представлении решения в виде ряда Тейлора (ибо всякий сходящийся степенной ряд есть ряд Тейлора для его суммы), либо метод неопределенных коэффициентов. Рассмотрим оба эти метода.

Представляя искомое решение в виде ряда Тейлора по степеням , имеем

 

 (1.10)

 

Свободный член  нам известен из начального условия . Коэффициент при  можно найти из дифференциального уравнения , положив в его обеих частях ; приняв во внимание начальное условие , получим

 

.

 

Далее, дифференцируя обе части уравнения  по  (при этом  рассматривается как сложная функция от ), имеем:

 

 (1.11)

 

Полагая здесь  и заменяя y и  их значениями при , получим

 

 

Дифференцируя (1.11) по , найдем:

 

 

Откуда, полагая , получим

 

 

Аналогично найдем, Подставляя значение  и найденные значения производных от у в точке  в (1.10), получим снова разложение (1.9).

В методе неопределенных коэффициентов голоморфное решение задачи Коши (1.7) ищется согласно (1.6) в виде

 

 (1.12)

 

Где  - неопределенные коэффициенты, значения которых определяются подстановкой (1.12) в дифференциальное уравнение  и приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях  в левой и правой частях полученного равенства (предполагая, что ряд (1.12) сходится, и, используя известную теорему о тождестве степенных рядов). Имеем

 

 

Подставляя (1.12) в , получим

 

 

Выполняя, справа операцию возведения степенного ряда в квадрат, получим

 

 

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях :

 

 

Определяя отсюда последовательно  найдем, Подставляя найденные значения  в ряд (1.12), получим искомое решение в виде (1.9).

Рассмотрим теперь задачу Коши для уравнения n-го порядка в нормальной форме

 

 (1.13)

 

Говорят, что задача (1.13) имеет решение

 

 (1.14)

 

Голоморфное в точке , если функция (1.14) голоморфна в точке , т.е. представима в виде (1.1):

 

Или

 (1.15)

 

(Здесь  заданные начальные значения решения (1.13) при ). Коэффициенты  так же, как и в случае построения голоморфного решения задачи Коши для уравнения первого порядка, могут быть найдены из самого дифференциального уравнения и уравнений, полученных из него последовательным дифференцированием, или методом неопределенных коэффициентов.

Заметим, что формула (1.6) есть частный случай формулы (1.15) при n = 1. В этом последнем случае нам заранее известно лишь одно первое слагаемое . Обратимся, наконец, к задаче Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений

 

 (1.16)

 

Решение этой задачи

 

 (1.17)

 

Называется голоморфным в точке , если все функции (1.17) голоморфны в этой точке. Оно имеет вид

 

 

Где  - заданные числа (начальные значения искомых функций ).