Интегрирование однородного линейного уравнения второго порядка при помощи степенных рядов

 

Рассмотрим однородное линейное уравнение порядка

 

 (4.1)

 

Предположим, что его коэффициенты p и q голоморфны в некоторой точке , т.е.  и  представимы в окрестности этой точки степенными рядами по степеням , сходящимися в некоторой области .

Тогда, пользуясь теоремой Коши, можно построить фундаментальную систему решений, голоморфную в этой точке, т.е. состоящую из голоморфных решений - голоморфный базис линейного пространства решений. Обычно строят голоморфный базис (у₁, у₂), нормированный в точке , т.е. линейно независимые решения у₁ и у₂ с начальными условиями

 

 

Так что у₁ и у₂ представимы степенными рядами

 

 

сходящимися в некоторой окрестности  точки , что позволяет согласно основной теореме теории линейных уравнений построить общее решение

 

 

В области

 

 

Таким образом, при сделанном предположении относительно голоморфности коэффициентов уравнения (4.1) всегда можем проинтегрировать последнее при помощи степенных рядов.

Рассмотрим два модельных примера.

Пример 6.

Проинтегрировать при помощи степенных рядов уравнение

 

 

Построим сначала голоморфный базис (у₁, у₂), нормированный в точке 0, которая (как и любая точка ) является точкой голоморфности коэффициента при у. Теорема Коши для случая линейного уравнения гарантирует существование и единственность этого базиса (как, впрочем, и любо другого); причем ряды, представляющие функции у₁ и у₂, заведомо сходятся при всех , представляя, таким образом, целые функции. Нам остается только построить у₁ и у₂.

Строим у₁ в виде

 

 

Будем искать С_k методом последовательного дифференцирование, рассматривая их как коэффициенты Тейлора для функции у₁

 

 

Дело сводится, таким образом, к нахождению .

Из тождества

 

 (4.2)

 

Находим

 

 

Дифференцируя (4.2), имеем

 

 

Откуда

 

 

Далее, имеем

 

 

Легко видеть, что

 

 

Поэтому

 

 

Аналогично найдем

 

 

Как и следовало ожидать, ряды для у₁, у₂ сходятся при всех , а их сумы  и  - целые функции.

Легко непосредственной проверкой убедиться, что функция  и  образуют голоморфный в точке 0 базис, нормированный в этой точке.

Используя найденный голоморфный базис, получаем общее решение

 

 

В области

 

 (4.3)

Пример 7. Построить фундаментальную систему решений уравнения

 

 (4.4)

 

нормированную в точке 0 в виде степенных рядов.

Известно, что уравнение (4.4) имеет фундаментальную систему решений .

Оба эти решения голоморфны в точке 0. Но эта фундаментальная система не нормирована в точке 0.

Для построения нормированной в точке 0 фундаментальной систему у₁, у₂ можно воспользоваться общим решением

 

 (4.5)

 

Получим .

Найдем эту фундаментальную систему непосредственно.

Имеем

 

 

Поэтому

 

 

Аналогично находим

 

 

Снова получили ту же самую фундаментальную систему, чего и следовало ожидать, в силу единственности фундаментальной системы решений, нормированный в данной точке.

Используя фундаментальную систему , можем записать обще решение уравнения (4.4) в виде

 

 

Это общее решение, так же как и общее решение (4.5), определено в области (4.3).