Решение задачи Коши для линейного уравнения второго порядка при помощи степенных рядов

 

Пусть дано линейное уравнение второго порядка

 

 (3.1)

 

И требуется найти его решение, удовлетворяющее начальным условиям

 

 ₍3.1)

 

и голоморфное в точке , т.е. представимое в некоторой окрестности точки  степенным рядом

 

 (3.3)

 

Из указанной выше теоремы Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши для линейного уравнения n-го порядка следует, что искомое решение заведомо существует и единственно, если точка  является точкой голоморфности функций p, f и q. Что касается начальных данных  и , то их можно брать любыми. Теорема Коши гарантирует также, что ряд (3.3) сходится, по крайней мере, в той же области , в которой сходятся ряды по степеням , представляющие функции p, f и q.

Остается только найти коэффициенты С_k. Это всегда можно сделать, например, методом неопределенных коэффициентов, вычисляя  и  почленным дифференцированием ряда (3.3) (которое законно, ибо этот ряд сходится в рассматриваемом интервале ) и подставляя у,  и  в уравнение (3.1), разложив предварительно p, q и f в ряды по степеням . Приравнивая в полученном тождестве коэффициенты при одинаковых степенях , придем к уравнениям относительно , которое всегда (последовательно) разрешимы. Заметим, что исследовать найденное решение (3.3) на сходимость не требуется.

Она уже гарантирована теоремой Коши.

На деле (особенно если С_k не имеет удобной структуры) ограничивается вычислением нескольких коэффициентов C_k, чтобы обеспечить заданную точность приближенного решения задачи Коши (3.1), (3.2), получающегося из (3.3) сохранением только первых членов ряда.

В частности, линеаризация решения задачи Коши (3.1), (3.2)

 

 

получающаяся из (3.3) отбрасыванием всех степеней , начиная со второй, доставляется уже начальными условиями (3.2) без использования самого дифференциального уравнения (3.1), которое обеспечивает за счёт голоморфности финкций p, q и f справедливость асимптотического представления точного решения задачи Коши (3.1), (3.2):

 

 

Коэффициенты С_k ряда (3.3) можно найти также методом последовательного дифференцирования.

При этом мы исходим из представления голоморфного решения задачи Коши (3.1), (3.2) в виде ряда Тейлора, т.е. переписываем (3.3) в виде

 

 

Значение  можем найти из уравнения (3.1), подставив в него вместо , у и  их начальные значения , и . Затем, дифференцируя (3.1), имеем

 

 

Заменяя здесь , у, ,  числами _{, ,} , , найдем  и т.д.

Пример 5. Найти голоморфное решение уравнения

 

 (3.4)

 

Удовлетворяющее начальным условиям

 

 

Так как

 

 

То искомое решение существует, единственно и имеет вид

 

 (3.5)

 

причем ряд справа заведомо сходится при .

Найдем . Перепишем уравнение (3.4) в виде

 

 (3.6)

 

Разложив коэффициент при у в ряд по степеням . Вычислим  и . Имеем

 

 

Подставим разложения y и  в дифференциальное уравнение (3.6).

 

 

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях :

 

 

Из этой системы находим

 

 

Искомым решением будет

 

 (3.7)

 

Линеаризация этого решения имеет вид .

Найдем коэффициенты С_k методом последовательного дифференцирования. Имеем

 

 

Значение  находим из уравнения (3.4), полагая

Получим

 

 

откуда . Дифференцируя (3.4), имеем

 

Откуда

 

Далее, имеем

 

Откуда

 

Заменяя в (3.5) С₂, С₃, С₄, …. Их значениями, снова получим (3.7)