Докажите теорему о скачке гладкой функции на ориентированном отрезке.

 

Теорема о скачке гладкой функции на ориентированном отрезке:

Скачок гладкой функции  на ориентированном отрезке  равен интегралу от единицы вдоль  по этому отрезку:

 

 

Доказательство:

Это следует из формулы Ньютона-Лейбница, если положить ′, .

 

Следствия:

Функция  является гладкой тогда и только тогда, когда она представима в виде интеграла с переменным верхним пределом от некоторой непрерывной функции :

Доказательство.

В качестве  нужно взять производную  функции , доопределенную произ-вольным образом в точках недифференцируемости .

 

Докажите теорему об интегрировании по частям для определенного интеграла.

 

Теорема об интегрировании по частям для определённого интеграла:

Если  и  – гладкие функции на ориентированном отрезке , то

 

Доказательство:

 

 

Дайте определение несобственного интеграла по конечному промежутку и по бесконечному промежутку. Докажите теоремы о несобственных интегралах степенной и показательной функций.

 

Определения:

Локально интегрируемая функция:

Функция  называется локально интегрируемой на множестве , если она определена на  и интегрируема на любом отрезке , содержащемся в .

 

Несобственный интеграл по конечному промежутку:

Пусть функция  локально интегрируема на полуинтервале , где  – произвольные числа. Тогда предел

называется несобственным интегралом от f по конечному промежутку (a; b] и обозначается:

Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится, а если не существует или бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

 

• Аналогично, если  локально интегрируема на полуинтервале , то предел

 

называется несобственным интегралом от f по конечному промежутку [a; b) и обозначается

и опять если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится, а если не существует или бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

 

Несобственный интеграл по бесконечному промежутку:

Пусть функция  локально интегрируема на полуинтервале , где  – произвольное число. Тогда предел

 

называется несобственным интегралом от  по бесконечному промежутку  и обозначается

Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится, а если не существует или бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

 

• Аналогично, если  локально интегрируема на полуинтервале , то предел

 

называется несобственным интегралом от  по бесконечному промежутку  и обозначается

и опять если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится, а если не существует или бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

 

 

Теоремы:

Теорема о несобственном интеграле степенной функции:

 

Теорема о несобственном интеграле показательной функции: