Докажите признак сравнения рядов.

 

Признак сравнения рядов:

Доказательство:

 

Докажите признак Даламбера сходимости рядов.

 

Признак Даламбера сходимости рядов:

Используемые леммы при доказательстве данного признака:

Доказательство признака Даламбера:

 

Докажите радикальный признак Коши сходимости рядов.

 

Радикальный признак Коши:

Доказательство:

Сформулируйте критерий Коши сходимости ряда.

 

Критерий Коши сходимости ряда:

Доказательство:

 

Докажите необходимое условие сходимости ряда.

 

Необходимое условие сходимости ряда:

 

Докажите признак абсолютной сходимости ряда.

 

Определение и доказательство абсолютной сходимости ряда:

 

Докажите признак Лейбница сходимости ряда.

 

Признак Лейбница:

Доказательство:

Чётные члены последовательности образуют убывающую последовательность, а нечётные – возрастающую, причём расстояние между чётными и нечётными стремится к нулю.

 

Докажите признак асимптотической эквивалентности рядов.

 

Признак асимптотической эквивалентности рядов:

Доказательство:

 

Докажите признак асимптотического сравнения рядов.

 

Признак асимптотического сравнения рядов:

35. Дайте определение поточечной сходимости функциональной последовательности и функционального ряда. Приведите примеры сходящихся и расходящихся в этом смысле последовательностей и рядов. Дайте определение области сходимости.

 

Определение поточечной сходимости функциональной последовательности и функционального ряда:

Примеры сходящихся последовательностей:

Примеры расходящихся последовательностей:

Примеры сходящихся рядов:

Примеры расходящихся рядов:

Определение области сходимости:

 

36. Дайте определение равномерной нормы функции на отрезке. Докажите ее свойства: неотрицательность, однородность, полуаддитивность, полумультипликативность, монотонность. Дайте определение равномерной сходимости последовательности функций. Приведите примеры.

 

Определение равномерной нормы функции на отрезке.

Свойства равномерной нормы функции, доказательства этих свойств:

Определение равномерной сходимости последовательности функций:

Примеры равномерно сходящихся последовательностей:

 

Связь с равномерной нормой:

Примеры интегрально сходящихся последовательностей:

 

37. Дайте определение равномерной сходимости функционального ряда. Приведите примеры сходящихся и расходящихся в этом смысле функциональных рядов. Сформулируйте критерий Коши равномерной сходимости ряда.

 

Определение равномерной сходимости функционального ряда:

Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов:

Примеры равномерно сходящихся рядов:

Примеры рядов, не сходящихся равномерно:

Критерий Коши равномерной сходимости ряда:

Доказательство: