Докажите теорему о замене переменной в несобственном интеграле.

 

Теорема о замене переменной в несобственном интеграле:

 

4.2.89:

 

Докажите критерий сходимости знакоположительного несобственного интеграла.

 

Критерий сходимости знакоположительного ряда:

 

 

Доказательство:

 

Докажите признак сравнения несобственных интегралов.

 

Признак сравнения несобственных интегралов:

 

 

Доказательство:

 

Докажите критерий Коши сходимости несобственного интеграла.

 

Критерий Коши:

Доказательство:

1.3.12:

Критерий Коши существования одностороннего предела функции.

 

Дайте определение абсолютной сходимости несобственного интеграла. Докажите признак абсолютной сходимости несобственного интеграла.

 

Признак абсолютной сходимости:

Доказательство.

5.1.7.

Критерий Коши о сходимости несобственного интеграла.

 

Приведите формулу Бонне и сформулируйте признаки Дирихле и Абеля сходимости несобственных интегралов.

 

Формула Бонне:

Доказательство:

Признак Дирихле:

Доказательство:

 

Признак Абеля:

Доказательство:

 

Докажите признак асимптотической эквивалентности несобственных интегралов.

 

Определение:

Пусть функции  и  обладают следующими свойствами:

1)  и  непрерывны на полуинтервале ;

2)

3)

 

Соответствующая зависимость между несобственными интегралами коротко записывается формулой:

Тогда сходимость интеграла  эквивалентна сходимости интеграла :

При этом:

(i) если эти интегралы сходятся, то справедливо следующее соотношение, показывающее, что скорость их сходимости будет одинаковой:

(ii) если эти интегралы расходятся, то справедливо следующее соотношение, показывающее, что скорость их расходимости будет одинаковой:

 

Используемые при доказательстве леммы:

 

 

Доказательство:

Докажите признак асимптотического сравнения несобственных интегралов.

 

Определение:

Доказательство:

 

22. Дайте определение сходящегося числового ряда и его суммы. Приведите примеры сходящихся и расходящихся рядов.

 

Определение числового ряда:

Определение суммы числового ряда и сходящегося числового ряда:

Определение расходящегося числового ряда:

Примеры сходящихся рядов:

Примеры расходящихся рядов:

 

Докажите арифметические свойства сходящихся числовых рядов.

 

Арифметические свойства сходящихся числовых рядов:

Доказательство первого свойства:

Доказательство второго свойства:

 

Докажите критерий сходимости знакоположительного числового ряда.

 

Определение знакопостоянного и знакоположительного ряда:

Критерий сходимости знакоположительного ряда:

Доказательство:

 

Докажите интегральный признак сходимости знакоположительного числового ряда. Дайте определение постоянной Эйлера числового ряда.

 

Интегральный признак сходимости знакоположительного ряда и постоянной Эйлера числового ряда:

Доказательство интегрального признака: