Понятия о напряженном состоянии в точке

В общем случае, если на тело действует сложная нагрузка, которая растягивает и сжимает его по трем направлениям, то в каждой точке этого тела возникают напряжения, которые зависят от ориентации выбранной в окрестности данной точке площадки. Совокупность напряжений, возникающих во множестве площадок, проходящих через рассматриваемую точку, называется напряженным состоянием в точке.

Чтобы охарактеризовать напряженное состояние в точке, выделим в ее окрестности элементарный объем в виде параллепипеда. При этом полное напряжение, возникающее на его гранях, может быть разложено на три составляющие, одно по нормали и две в плоскости грани (рис.1).

Рис. 1

Нормальные напряжения обозначим через , с индексом соответствующим осям x, y, z.

  Касательные напряжения будем обозначать через τ, с двумя индексами, первый соответствует оси, перпендикулярной к площадке, а второй – оси вдоль которой направлен вектор τ.

Нормальные напряжения положительны при растяжении, т.е. когда напряжения совпадают с направлением оси.

 τ >0, если его направление совпадает с внешней нормалью, повернутой по часовой стрелке на .

 Если ориентацию граней, выделенного элемента изменить, то действующие на его гранях напряжения, также будут изменяться. При этом можно найти такой элемент, на гранях которого будут действовать только нормальные напряжения, т.е. касательные напряжения будут равны нулю  (рис. 2).

Рис. 2

Площадки, на которых нет касательных напряжений называются главными, нормальные напряжения, действующие по этим площадкам называются главными напряжениями.

Таким образом, в каждой точке любого напряженного тела, можно провести три взаимно – перпендикулярные площадки через которые будут передаваться только нормальные напряжения, причем одно являться наибольшим, другое наименьшим, третье – промежуточным.

Условимся, что .

 В зависимости от того, какие напряжения передаются через главные площадки, различают следующие три вида напряженного состояния.

Напряженное состояние, в котором только одно из главных напряжений не равно нулю (любое из трех), называется линейным или одноосным (рис. 3).

Рис. 3

Если два  главных напряжений отличны от нуля, то такое напряженное состояние называется плоским или двухосным (рис. 4).

Рис. 4

В случае, если все три главных напряжений не равны нулю, то

это - объемное или трехосное напряженное состояние (рис. 2).

Показанные на (рис. 1) девять напряжений называются компонентами напряженного состояния в данной точке. Из девяти компонентов, независимыми являются лишь шесть, так как на основании закона парности касательных напряжений (на двух взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через данную точку, касательные напряжения равны по величине, но противоположны по знаку), имеем , .