Потенциальная энергия электрона равна

                                                .
Следовательно, уравнение Шредингера имеет вид

                                   .                                         (18)

Можно показать, что уравнение (18) имеет решение, удовлетворяющее стандартным условиям, в следующих случаях: 1) при любых положительных значениях E; 2) при дискретных отрицательных значениях энергии, равных

                           .                                 (19)

Случай  соответствует электрону, пролетающему вблизи ядра, т.е. свободному электрону. Случай  соответствует электрону, движущемуся вблизи ядра, т.е. связанному электрону. Самый нижний уровень , отвечающий минимально возможной энергии, называется основным, все остальные – возбужденными. Таким образом, квантование энергии атома является следствием теории, в отличие от теории Бора, в которой квантование вводилось как постулат.

Собственные функции уравнения (18), представленные в сферической системе координат, содержат три целочисленных параметра: главное число n, орбитальное число l и магнитное число m

                                           .

Главное число n определяет энергетический уровень электрона в атоме в соответствии с формулой (19) и может принимать любые положительные целочисленные значения.

Орбитальное число l определяет орбитальный момент импульса электрона. Согласно законам квантовой механики момент импульса квантуется по правилу

                                             .                                                   (20)
При заданном n орбитальное число может принимать значения

                                             .                                                   (21)

Магнитное число m определяет ориентацию орбитального момента в пространстве. Согласно законам квантовой механики величина проекции момента на некоторое направление z принимает дискретные значения

                                                 ,
где m – магнитное квантовое число, которое при заданном l может принимать значения

                                         .
Таким образом, вектор момента импульса электрона в атоме может иметь в пространстве  возможных ориентаций.

Согласно (19) энергия электрона зависит только от главного квантового числа n. Каждому собственному значению энергии  (кроме ) соответствует несколько собственных функций , отличающихся значениями квантовых чисел l и m. Это означает, что атом водорода может иметь одно и то же значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях.

Состояния с одинаковой энергией называются вырожденными, а число различных состояний с каким-либо значением энергии называется кратностью вырождения соответствующего энергетического уровня.

Кратность вырождения энергетических уровней легко вычисляется путем подсчета возможных значений l и m. Каждому значению квантового числа l соответствует  значений квантового числа m. Следовательно, число различных состояний, соответствующих данному n, равно

                                            .                                                   (22)

В атомной физике применяется условное обозначение состояний электрона с различными значениями момента импульса. Электрон, находящийся в состоянии с  называется s -электроном (соответствующее состояние – s -состоянием), с  – p -электроном, с  – d -электроном, с  – f -электроном и далее по алфавиту. Значение главного квантового числа указывается перед условным обозначением орбитального числа l. Поскольку l всегда меньше n, возможны следующие состояния электрона:

                                                   1 s,

                                                  2 s, 2 p,

                                                 3 s, 3 p, 3 d
и т.д. Схему уровней энергии удобно изображать так, как показано на рис.